Matematik

Andengradsligningen

13. juni 2004 af Katty (Slettet)

Hej,

Er ved at bevise løsningsformlen for andengradsligningen. Jeg dividerer først formlen igennem med a, og benytter derefter "completing the square":

ax^2+bx+c = 0
x^2 + b/a*x + c/a = 0
(x + 1/2*b/a)^2 - (1/2*b/a)^2 + c/a = 0

Mit spørgsmål er så, hvad formålet er med at gange b/a med 1/2, og hvordan ophæves det x, der står efter b/a i ligning II?

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. juni 2004 af Lurch (Slettet)

X'et efter b/a ophæves jo netop ved at bruge completing the square

at gange b/a med 1/2, er jo også netop completing the square.

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. juni 2004 af TheKo (Slettet)

Er der egentlig nogen der ved hvad "completing the square" hedder på dansk?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. juni 2004 af Lurch (Slettet)

Nææ, motoden står skrevet som "completing the square" i alle de bøger jeg har set

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. juni 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

"Fuldende kvadratet" vil være mit bud, men engelsk er nu ikke lige min stærkeste side.

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. juni 2004 af TheKo (Slettet)

Jeg har nemlig kun lært det på engelsk, altså i en international skole. Det sker tit at jeg ikke ved hvad ting heddr på dansk:(

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. juni 2004 af Brian (Slettet)

"Completing the square" hedder "fuldstændiggøre kvadratet" i dansk matematisk terminologi.

Konkret gennemregning: Du starter med

ax^2 + bx + c = 0
<=>
x^2 + (b/a)*x + c/a = 0

Se nu på formelen (x + k)^2 = x^2 + k^2 + 2*x*k. Ideen er at få 2*x*k til at spille rollen som (b/a)*x, altså hvis (b/a)*x = 2*k*x. Det får du med

k = (1/2)*(b/a).

Bruger du dette, kan du regne ud, at

(x + (1/2)*(b/a))^2
= x^2 + ((1/2)*(b/a))^2 + 2*(1/2)*(b/a)*x
= x^2 + ((1/2)*(b/a))^2 + (b/a)*x.

Sammenligner du dette med dit eget udtryk, kan du se, at du har fået (b/a)*x på plads, men at ((1/2)*(b/a))^2 ikke var med i dit eget udtryk.

Men nu ved du hvad der skal til for at fuldstænddiggøre kvadratet:

x^2 + (b/a)*x + c/a

= x^2 + ((1/2)(*b/a))^2 + 2*(1/2)*(b/a)*x + c/a - ((1/2)*(b/a))^2

(har lagt ((1/2)*(b/a))^2 til og trukket det samme fra igen og omskrevet (b/a) til noget, der er ganget med 2)

= ( x + ((1/2)*(b/a)) )^2 + c/a - ((1/2)*(b/a))^2

(de 3 første led var jo et kvadrat!)

Så formålet med at gange med 1/2 var sådan set bare at få det hele til at passe.

Svar #7
14. juni 2004 af Katty (Slettet)

Ahhh, mange tak for det. Dejligt at kunne bevise noget af beviset :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. juni 2004 af sclk (Slettet)

Vi siger kvadratkompletering, men det er måske ikke noget andre kender??

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. juni 2004 af Brian (Slettet)

Næ, jeg var måske en smule skråsikker, men "fuldstændiggørelse af kvadratet" er hvad jeg har lært. Der er åbenbart flere betegnelser i omløb for denne fremgangsmåde.

Skriv et svar til: Andengradsligningen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.