underrum

11. Der er to uafhængige parametre nemlig a oog b, hvilket peger på at dimensionen er 2 og det peger samtidig på en basis. Med a =1, b=0 fås
x^2+2, med a=0 og b=1 fås x+3. Disse polynomier er indlysende uafhængige og det er let at se at de kan frembringe samtlige polynomier i underrummet.

13.
Der gælder cos(2x) = 2cos^2(x)-1, så den sidste funktion kan dannes af de 2 første. Det er klart at 1 er linært uafhængig af de 2 andre funktioner, så dimensionen er 2.

18.
Vælg en basis for hver af de 2 underrum. Derefter vis at enhver vektor i U+V kan skrives som en linearkombination af disse vektorer, samt at de er lineært uafhængig.

0.
0-vektoren ligger i ethvert underrum, så denne vektor vil også ligge i deres fællesmængde. Hvis a ligger i fællesmængden for U og V ligger a både i U og i V. Tilsvarende med b. Hvad så med a+b?

11) Lineært uafhængig, tester vi dette ved at se om detA=0?

#2
Det er ikke særlig prakstisk, når det drejer sig om funktioner.
Hvad du end ganger polynomiet x+3 med kan du ikke få et andet grads polynomium. Tilsvarende gælder for andet gradspolynomiet at du ikke på nogen måde kan få et førstegrads polynomium ud af det.