Matematik

Restled i Taylorudvikling

21. februar 2008 af kranz (Slettet)

Hej,

Sidder med en opgave om en Taylorudvikling af en funktion.
I restleddet indgår en punkt, c, der er ukendt, men som ligger mellem x_0 (Udviklingspunktet) og x. Mit spørgsmål er så nu, om dette punkt ligger i intervallet ]x ; x_0 [ eller i intervallet [x ; x_0], altså om det ukendte punkt kan være x eller x_0? Umiddelbart tror jeg, svaret er det første, altså at c skal ligge mellem x_0 og x.

Mvh Kranz

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. februar 2008 af Blaavand (Slettet)

Hvis det er Lagranges Restled du bruger, altså at

Så skal c være i [x_0;x]. Grunden til det er, at formlen kommer fra middelværdisætningen for integraler, og integraler kan ikke kende forskel på åbne og lukkede intervaller.

Svar #2
21. februar 2008 af kranz (Slettet)

Det er Lagranges Restled, jeg taler om, ja.

Det er sjovt du nævner Middelværdisætningen, for den er selvfølgelig med i optakten til afsnittet om Taylorudvikling - Og i min bog er der for middelværdisætningen tale om et åbent interval, og altså ikke et lukket, som du skriver...?

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. februar 2008 af Blaavand (Slettet)

Hvis din funktion du bruger middelværdisætningen på, er konstant fx, så vil endepunkterne være fine kandidater til det ukendte punkt c - men der kan du naturligvis også vælge et vilkårligt andet punkt i det interval du integrerer over.

Svar #4
21. februar 2008 af kranz (Slettet)

Er ikke helt med på det med integration osv. - Spørgsmålet er blot om endepunkterne er indeholdt i det interval, c kan ligge i. Som jeg nævnte indeholder middelværdisætningen i min matematikbog ikke yderpunkterne - Det beviser ikke noget, men ifølge de notater, jeg har gjort til en forelæsning antyder det samme, og derfor er jeg nu i tvivl.

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. februar 2008 af Blaavand (Slettet)

Umiddelbart ser jeg ikke noget problem i at begge endepunkter skulle være. Det eneste der skulle kunne være et problem er at funktion f's n+1'afledte ikke skulle være defineret i punktet.

Hvis du vil finde ud af, om det skal være det åbne eller lukkede interval, så må du se på, hvilke begrænsninger der er på funktionen der skal differentieres. Hvis der står, at funktionen skal være differentiable på det åbne interval ]x;x_0[, så skal c vælges i dette interval. Skal funktionen være differentiabel på et større interval, så kan du godt bruge endepunkterne.

Jeg håber det giver mening.

Svar #6
21. februar 2008 af kranz (Slettet)

Jo jo, det giver mening. Som sagt stemmer det bare ikke helt overens med mine notater osv., og derfor er jeg lidt i tvivl om, hvad jeg selv tror på:-)

Men tak for din hjælp og tid.

Skriv et svar til: Restled i Taylorudvikling

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.