Matematik

Matrix og Span

21. februar 2008 af jacob.olsen (Slettet)

Der er givet 4 vektorer: v1, v2, v3 og v4.
Jeg vil undersøge hvorvidt Span(v1, v2, v3, v4)=R i fjerde.

Indtil videre har jeg opstillet de 4 vektorer i en total matrix og har så forsøgt løst matrixen vha. Gaussisk elimination.

Lad os sige at jeg får 0 0 0 0 i den nederste rækker af matrixen, betyder det så at de 4 vektorer v1, v2, v3 og v4 ikke udspænder R i fjerde?

Hvis nej, hvordan kan jeg så undersøge ovenstående spørgsmål?

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. februar 2008 af kranz (Slettet)

Hvis ikke matricen har fuld rang, dvs. initial-1-taller i alle fire rækker, udgør de fire vektorer ikke en basis for R^4, idet en eller flere af vektorerne vil være lineært afhængige af de andre.

Svar #2
21. februar 2008 af jacob.olsen (Slettet)

Med 'fuld rang, dvs. initial-1-taller i alle fire rækker' mener du så at den første lodrette rækker fra venstre?

Jeg skal altså have en

1 2 6 0
1 0 9 1
1 4 0 7
1 4 9 0

f.eks. for at de fire vektorer udspænder R i fjerde?

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. februar 2008 af kranz (Slettet)

Nope. Når du har din matrix med de fire vektorer opskrevet som søjler og reducerer denne ved Gauss-elimination, skal du have:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Alternativt kan nogle af 0'erne være tal, men foran 1-tallerne, dvs. til venstre for, og under dem, må der kun være 0'er.

Prøv at regne den og skriv, hvad du finder ud af - Giver du mig vektorerne, kan jeg lynhurtigt kontrollere, om de udgør en basis for R^4.

Svar #4
21. februar 2008 af jacob.olsen (Slettet)

Mine 4 vekorer er, v1=(2,-3,0,4) v2=(8,3,12,-8) v3=(5,0,6,-1) og v4=(0,5,1,-2)

Jeg har selv, ved Gaussisk elimination fået:

2 -3 0 4

0 15 12 -22

0 0 -3 16/3

0 0 0 0

Men jeg kan ikke helt tyde om de fire vektorer så udspænder R i fjerde.

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. februar 2008 af Blaavand (Slettet)

Når du får en nulrække nederst så betyder det, at de fire vektorer ikke er lineært uafhængige. Altså udspænder de ikke R^4.

Svar #6
21. februar 2008 af jacob.olsen (Slettet)

Hvad så med en nulrække et hvilket som helst andet sted i matrixen?

Og forresten, lad os sige at jeg har 5 vektorer og igen skal undersøge om de udspænder R i fjerde, er fremgangen så den samme som med 4 vektorer og R i fjerde?

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. februar 2008 af kranz (Slettet)

Jeg har netop prøvet at reducerede matricen, og jeg finder:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Altså en matrix med fuld rang. Jeg tror, du må have reduceret den forkert.

Hvis du har 5 er princippet det samme. Du opstiller de fem vektorer i søjlerne i en matrix. Herefter reducerer du den. Finder du 4 initial-1-taller, udspænder fire af vektorerne R^4 (Naturligvis kan du ikke finde 5 initial-1-taller, da der skal præcist 4 vektorer til at udspænde et 4-dimensionelt rum).

Svar #8
21. februar 2008 af jacob.olsen (Slettet)

Jeg har forsøgt at sætte dem ind i Maple, og så bruge GaussianElimination funktionen og der får jeg altså også flg. resultat:

2 -3 0 4
0 15 12 -22
0 0 -3 16/3
0 0 0 0

Svar #9
21. februar 2008 af jacob.olsen (Slettet)

Eller ved ReducedRowEchelonForm:

1 0 0 29/15
0 1 0 -2/45
0 0 1 -16/9
0 0 0 0

Synes da godt nok det er underligt, jeg ikke kan få det samme som dig.

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. februar 2008 af kranz (Slettet)

Jeg har lavet ReducedRocEchelonForm og får ovennævnte. Har tjekket vektorerne igen og har skrevet dem rigtigt ind. Tjek om du har skrevet de rigtige vektorer hér længere oppe eller i Maple, når du selv laver det.

Svar #11
21. februar 2008 af jacob.olsen (Slettet)

Det forstår jeg godt nok ikke. Har du lavet det i Maple? For så kan du evt. sende worksheet'et til mig. Vil meget gerne se hvori fejlen består.

Men ellers som opsummering. Lad os sige at jeg stiller 5 vektorer op i en totalmatrix. Jeg får fire pivotsøjler, men en nulrække. Vil det så sige at de 5 vektorer IKKE udspænder et fire-dimensionelt rum?

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0

(eksempel med de 4 pivotsøjler og en nulrække)

Og kan jeg så samtidigt konkludere (i tilfælde af at der en nulrække i ligningssystemet) at man ikke kan udtage fire tilfældige vektorer som vil kunne udspænde R^4?

Tilgiv for de mange spørgsmål, men det lader til at du har godt styr på :)

Brugbart svar (0)

Svar #12
21. februar 2008 af kranz (Slettet)

Arhh, det er måske det, som er fejlen - Vektorerne skal opstilles som SØJLER. Dvs. din matrix kommer til at hedde:

2 8 5 0
-3 3 0 5
0 12 6 1
4 -8 -1 -2

Hvis du tilføjer en femte vektor, skal den opstilles som søjle til højre for - Lad os sige, at den femte hed v5 = (1,1,1,1), så ville matricen med de fem søjler være:

2 8 5 0 1
-3 3 0 5 1
0 12 6 1 1
4 -8 -1 -2 1

Var det dét, du havde gjort galt?

Jeg har lavet det i Maple, ja, hvis du vil have det, så send din mailadresse til mig i en privat besked.

Brugbart svar (0)

Svar #13
22. februar 2008 af Isomorphician

bare lige for at blande mig, men jeg kan også reducere matricen til
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Svar #14
22. februar 2008 af jacob.olsen (Slettet)

Jeg har her til morgen, med friske øjne kigget mine indlæg igennem, og har fundet at vektor v2 skal være (8,3,12,-6) og ikke v2=(8,3,12,-8).

Svar #15
22. februar 2008 af jacob.olsen (Slettet)

Kranz du har selvfølgelig ret. Vektorerne skal opstilles som SØJLER og ikke som rækker.
Det er deri fejler ligger..

I skal have tusind tak for hjælpen.

Skriv et svar til: Matrix og Span

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.