Cosinusrelationer

cos-relationen:

trekant ABC lægges ind i koordinatsystemet

med
1) A i (0,0)

2) B(b1,b2) liggende på x-aksen med b1>0

3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1<b1

4) fodpunktet for højden fra C på c kaldes D

dermed er vinkel B spids

ved figurbetragtning ses:

c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|DB| = c-b*cos(A)

ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |DB|^2

*) a^2 = (b*sin(A))^2 + (c-b*cos(A))^2

a^2=b^2*(sin(A))^2 + c^2 + b^2*(cos(A))^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)


beviset når vinkel B er stump - så højden "falder" uden for trekanten:

ÆNDRINGEN i koordinatsystemet bliver:

3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1>b1

og
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|BD| = b*cos(A)-c

ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |BD|^2

**) a^2 = (b*sin(A))^2 + (b*cos(A)-c)^2

a^2=b^2*(sin(A))^2 + b^2*(cos(A))^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

eneste forskel på *) og **) er

i
*) c-b*cos(A)
og
**) b*cos(A)-c
men
da
(c-b*cos(A))^2 = (b*cos(A)-c)^2...(udtrykket er symmetrisk)

bliver slut-formlen, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A), den samme.

Bogstaverne kan rokeres, hvorved de to analoge
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)
og
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
fremkommer