Matematik

differentialligning?

04. maj 2008 af Alcone (Slettet)

Hej. Jeg har denne her opgave, som jeg ikke rigtig kan forstå og derfor ikke komme i gang med. Synes der er så mange oplysninger at holde styr på, eller er det bare mig? Er der nogen som kan hjælpe?

Man har undersøgt løgfrøens overlevelsessucces i forskellige vandhuller på Djursland. Der er udsat et antal løgfrøhaletudser i hvert vandhul, og derefter har man målt løgfrøhaletudsernes længde hver dag i en periode på 3 måneder.
Det har vist sig, at haletudsernes længde som funktion af tiden opfylder nedenstående differentialligning
dS_t/dt=K*S_t*(S_max-S_t)/S_max , hvor S_t er længden(cm), til tiden t(døgn), S_max(cm) er den øvre grænse for længden af en løgfrøhaletudse og K er en konstant.

For et af de undersøgte vandhuller er K=0,069 og S_max=12. Desuden oplyses, at startlængden S_0=0,5.

a) Bestem ud fra de givne oplysninger løsningen til differentialligningen for det betragtede vandhul og beregn løgfrøhaltudsens længde, når den er 20 døgn gammel.

b) Bestem den alder en løgfrøhaletudse fra det pågældende vandhul har, når den vokser hurtigst.

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. maj 2008 af dnadan (Slettet)

dS_t/dt=0,069*S_t(12-S_t)/12 = 0,069/12*S_t(12-S_t)
hint: logistisk vækst

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Kig under "den logistiske ligning" i din bog.

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Eller snarere "logistisk vækst".

Svar #4
04. maj 2008 af Alcone (Slettet)

kan jeg ikke bruge deSolve? Men jeg ved så ikke rigtig hvordan det skal skrives op.

deSolve(S_t'= .....) ??

Svar #5
04. maj 2008 af Alcone (Slettet)

nogen som kan hjælpe mig videre med opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Jo, du kan også bruge deSolve, men jeg kender ikke noget til TI-lommeregnere, så jeg kender ikke den nøjagtige syntaks.

Svar #7
04. maj 2008 af Alcone (Slettet)

ja okay. Men jeg ved bare så ikke rigtig hvoradn det skal skrives op, hvis jeg vil bruge deSolve.
Er der så en anden måde man kan løse opgaven på?

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Jeg går ud fra, at du har en formelsamling, og i den står den generelle løsning for en differentialligning af den type. Du kan anvende denne, og tilpasse konstanterne til det aktuelle tilfælde.

Svar #9
04. maj 2008 af Alcone (Slettet)

Jo, men problemet er at jeg ikke rigtig kan se hvilken form der er tale om. Altså dS_t/dt i opgaven. Hvad det er for en form og hvordan formen for dens løsning ser ud.

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Aha, i din formelsamling er denne type ligninger skrevet som dy/dx = a*y*(M-y), så vidt jeg husker. Så kan du selv tænke dig frem til, hvad svarer til a og hvad svarer til M i dit tilfælde.

Brugbart svar (0)

Svar #11
04. maj 2008 af dnadan (Slettet)

#10 Det er korrekt, som har løsningen:
y=M/(1+c*e^(-aMx))

Alternativt, søg under 'noter til differentialligninger', så burde der meget gerne dukke en opgave op.

Svar #12
04. maj 2008 af Alcone (Slettet)

Okay. er der nogen som kan tjekke om det passer det jeg har fået?
Jeg har bestemt løsningen til differentialligninge vha. deSolve og fået det til:

y=12*1.07144^t/1.07144^t+23

Svar #13
04. maj 2008 af Alcone (Slettet)

Og det med at beregne løgfrøhaltudsens længde, når den er 20 døgn gammel.
Skal jeg så indsætte 20 ind på t's plads i y el. y'(dS_t/dt)?

Brugbart svar (0)

Svar #14
04. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Løsningen er korrekt. Du skal sætte 20 ind på t's plads i y.

Svar #15
04. maj 2008 af Alcone (Slettet)

Okay mange tak. Men hvordan løser jeg så b)
Skal jeg differentiere y og så sætte det lig med 0? Er det den måde jeg bestemmer alderen af en løgfrøhaletudse fra det pågældende vandhul, når den vokser hurtigst?

Brugbart svar (0)

Svar #16
04. maj 2008 af dnadan (Slettet)

hint: dy/dx=ay(M-y)=aMy-y^2
find første koordinaten til toppunktet, hvorefter dette indsættes i den fundne forskrift, hvorefter t isoleres.

Svar #17
04. maj 2008 af Alcone (Slettet)

Hmm.. hvordan finder jeg førstekoordinaten til toppunktet?

Brugbart svar (0)

Svar #18
04. maj 2008 af dnadan (Slettet)

vha. toppunktsformlen

Skriv et svar til: differentialligning?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.