Andre fag
De store tals lov
06. maj 2008 af
stræber-pigen (Slettet)
Der er åbenbart mange udgaver af "De store tals Lov", men hvordan kan man retfærdiggøre dette kæmpe sætningskompleks? Det er ikke en opgave, jeg er bare nysgerrig :)
F.ek.s hvis vi har nogen stokastiske variabler eller vektorer og kan vi vælge et tal c således
P(|Sn/n -u| >= e) <= c/ne^2 og når n->0 får vi 0 for alle e>0. Det er den udgave jeg har set, men jeg ser det mere som en antagelse.
F.ek.s hvis vi har nogen stokastiske variabler eller vektorer og kan vi vælge et tal c således
P(|Sn/n -u| >= e) <= c/ne^2 og når n->0 får vi 0 for alle e>0. Det er den udgave jeg har set, men jeg ser det mere som en antagelse.
Svar #1
06. maj 2008 af Euler (Slettet)
Det ville være fornuftigt at antage, at de stokastiske variable er ukorellede. Jeg går ud fra at Sn := X1 + ... + Xn og c >= oi^2 for alle i >=1, og vn = u1 + ... + un
Det er et spændende indlæg. Dit eksempel er et tilfælde af middelværdihomogenitet.
P(|Sn-vn|/n >=e) <= c/ne^2 for alle n>=1 og dette udtryk går mod 0 for n gående mod oo for alle e>0.
Det er ikke svært at vise. ESn = SUM(i=1;oo) EXi = vn. Fra Markov- Chebyshev uligheder får vi, at P(|Sn-vn|/n >=e) = P(|Sn-ESn| >=ne) = 1/n^2e^2 * varSn.
Da de stokastiske variable er ukorrelerede har vi, at varSn=SUM(i=1;oo) varXi = SUM(i=1;n)oi^2. Lad o^2 = max{o1^2,...,on^2}. Da er o^2 <= c, og vi får
P(|Sn-vn|/n >=e) <= 1/n^2e^2 * varSn = 1/n^2e^2 * SUM(i=1;n)o^2 <= nc/n^2e^2 = c/ne^2, og transitiviteten giver os resultatet.
Vi ser også at c/ne^2 -> 0 for n->oo. For middelværdihomogenitet følger resultatet trivielt.
Det er et spændende indlæg. Dit eksempel er et tilfælde af middelværdihomogenitet.
P(|Sn-vn|/n >=e) <= c/ne^2 for alle n>=1 og dette udtryk går mod 0 for n gående mod oo for alle e>0.
Det er ikke svært at vise. ESn = SUM(i=1;oo) EXi = vn. Fra Markov- Chebyshev uligheder får vi, at P(|Sn-vn|/n >=e) = P(|Sn-ESn| >=ne) = 1/n^2e^2 * varSn.
Da de stokastiske variable er ukorrelerede har vi, at varSn=SUM(i=1;oo) varXi = SUM(i=1;n)oi^2. Lad o^2 = max{o1^2,...,on^2}. Da er o^2 <= c, og vi får
P(|Sn-vn|/n >=e) <= 1/n^2e^2 * varSn = 1/n^2e^2 * SUM(i=1;n)o^2 <= nc/n^2e^2 = c/ne^2, og transitiviteten giver os resultatet.
Vi ser også at c/ne^2 -> 0 for n->oo. For middelværdihomogenitet følger resultatet trivielt.
Svar #2
06. maj 2008 af Euler (Slettet)
Hvis de diskrete stokastiske variable er uafhængige, og Xi antager værdierne 1 og 0 med sandsynlighederne p og (1-p):=q får vi et andet resultat, som er mere brugbart. Markov- Chebyshev-ulighederne er upræcise. Jeg mener, at Jacob Bernoulli viste noget i retningen af
P(|Sn/n -p|>e) <= 2/(ep^(1/q))exp(-ne^2(p+e)ln(1/p)/(q(1+e))). Hvis vi vil have en sandsynlighedsværdi på ca. 0,95 gælder dette for små n, når vi har Bernoulli's ulighed, hvorimod Markov-Chebyshev-ulighederne kræver et stort n.
Forsikringsselskabernes paladser er et eksempel på, at sandsynlighedsregningen virker :)
P(|Sn/n -p|>e) <= 2/(ep^(1/q))exp(-ne^2(p+e)ln(1/p)/(q(1+e))). Hvis vi vil have en sandsynlighedsværdi på ca. 0,95 gælder dette for små n, når vi har Bernoulli's ulighed, hvorimod Markov-Chebyshev-ulighederne kræver et stort n.
Forsikringsselskabernes paladser er et eksempel på, at sandsynlighedsregningen virker :)
Svar #5
11. juni 2008 af Euler (Slettet)
#3 Ja, jeg kender en del, men dem må du selv rode rundt med.
#4 ?
#4 ?
Skriv et svar til: De store tals lov
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.