Matematik

Differentialregning

29. maj 2008 af Arvin (Slettet)

Jeg er fuldstændig fortabt i emnet differentialregning. Jeg forstår godt teorien med n*x^(n-1) osv., men jeg har bare svært ved at se, hvad jeg kan bruge det til. Hvad hjælper det, når jeg differentierer en funktion til f'(x)? Jeg forstår ikke hvad formålet er.

Jeg har læst kapitlet om differentialregning igennem op til flere gange, men der nævnes aldrig hvordan det bruges, og til hvilke problemer jeg kan bruge dette. Det eneste der står er teori og beviser.

Jeg har været igennem mange opgaver hvor jeg skal finde den største og laveste værdi til en funktion, men jeg kan bare ikke se, hvordan differentialregning kan hjælpe mig. Hvordan er det lige, en differentieret ligning viser mig de største og laveste værdier?

Hvad kan jeg gøre for at få en bedre forståelse af differentialregning? Kan nogen forklare det til mig hvornår jeg kan/skal bruge det eller referere til noget på nettet?

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. maj 2008 af mathon

ekstrema kræver

f'(x) = 0

Svar #2
29. maj 2008 af Arvin (Slettet)

#1 Altså det kræver at sætte ligning ud for 0 for at beregne den største og laveste værdi? Hvad menes der ved det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. maj 2008 af mathon

et eksempel:

En funktion er givet ved f(x) = -x^3 + 4x^2 + 3x - 3

Bestem de lokale ekstrema for f

......................................................................................

f(x) = -x^3 + 4x^2 + 3x - 3
nulpunkter:
xo1 = -1,11354, xo2 = 0,596424 og xo3 = 4,51711

monotoni:
for x0, hvorfor f(x) er monotont voksende
for x>3 er f'(x)<0, hvorfor f(x) er monotont aftagende

ekstrema:
for x = -(1/3) har f lokalt minimum f(-(1/3)) = -3,51852
for x = 3 har f lokalt maksimum f(3) = 15

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. maj 2008 af mathon

eksempel 2:

En bestemt type beholder, der skal indeholde 20 dm^3, er sammensat af en cylinder med bund og en halvkugleflade, der har samme radius som bunden af cylinderen. Det oplyses at overfladen O(x) (dm^2) for en sådan beholder som funktion af cylinderens radius x (dm) er givet ved

O(x)=13/3*pi*x^2+40/x

- bestem overfladen når radius i cylinderen er 2 dm og bestem radius i den beholder der har den mindste overflade.

...........................................................................................................................................................

((26/3)*pi)*xo - 40/xo^2 = 0 gang med x^2

((26/3)*pi)*xo^3 - 40 = 0

((26/3)*pi)*xo^3 = 40

xo^3 = 40*3/(26pi)

xo = [40*3/(26pi)]^(1/3) = 1,13681

for x<1,13681 er O'(x)<0, hvorfor O(x) er monotont aftagende
for x=1,13681 er O'(x)=0, hvorfor grafen for O(x)har vandret tangent
for x>1,13681 er O'(x)>0, hvorfor O(x) er monotont voksende

O(x) har således minimum for x=1,13681

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. maj 2008 af mathon

f'(xo) er tangenthældningen i et kurvepunktet(xo,f(xo))

hvis tangenthældningen f'(xo)>0 (positiv hældning), er f(x) monotont voksende (du kan ikke tegne en voksende kurve med negativ tangenthældninger)

hvis tangenthældningen f'(xo)<0 (negativ hældning), er f(x) monotont aftagende (du kan ikke tegne en aftagende kurve med positive tangenthældninger)

hvis tangenthældningen f'(xo)=0 (vandret tangent)
og
f'(x)<0 for x<xo
og
f'(x)>0 for x>xo
har f(x) lokalt/globalt minimum for x=xo

hvis tangenthældningen f'(xo)=0 (vandret tangent)
og
f'(x)>0 for xxo
har f(x) lokalt/globalt maksimum for x=xo

f'(x) er således et fantastisk, uundværligt "analyseværktøj" til undersøgelse og beskrivelse af differentiable funktioners grafiske forløb

Skriv et svar til: Differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.