Matematik

Potensfunktion

04. juni 2008 af xSweetheart (Slettet)

Har en opgave til eksamen, som lyder således:

Redegør for karakteristiske egenskaber ved potensfunktionen y = b * x^a og dens graf, herunder betydningen af de indgående størrelser a og b, og hvordan forskriften findes ud fra to punkter.

Jeg fatter NADA!. :s

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Grafen for y = b*x^a går gennem punktet (1,b) fordi b*1^a = b. Dette fortæller lidt om tallet b's betydning for grafen.

Hvad tallet a angår, så styrer det hele formen af grafen. Der gælder nemlig:

Tilfældet a>0
Grafen for y = b*x^a er voksende. Der er tre undertilfælde

1. når a>1 så vokser y-værdierne procentvis hurtigere end x-værdierne, hvilket gør, at udviklingen accellererer så grafen "krummer opad". Et konkret eksempel kunne være y = 3*x^2 som jo blot er et andengradspolynomium med toppunkt i (0,0) og har en halv parabel som graf.

2. når a=1 er der tale om ligefrem proportionalitet fordi x^1 = x så forskriften bliver y = b*x. Grafen bliver en ret linje og y- og x-værdierne vokser procentvis lige hurtigt.

3. når 0<a<1 vokser x-værdierne procentvis hurtigst (ift. y). Dette gør, at udviklingen deccellererer. Som eksempel kan du se på y = 0,333333*x^0,5 og husk at x^0,5 giver sqrt(x), dvs. kvadratroden af x.

Dette giver den samme graf som y = 3*x^2, men nu er det blot en parabel der "pager" i x-aksens retning. Det er ikke tilfældigt, at 0,333333 = 1/3 og 0,5 = 1/2, så tallene a og b er erstattet med deres reciprokke værdier for at få samme graf men med x- og y-aksen byttet rundt.

Tilfældet a=0
Grafen bliver en vandret linje, da x^0 = 1 for alle x og dermed y = b*x^0 = b uanset, hvad x er.

Tilfældet a<0
Grafen for funktionen er aftagende. Det giver forskellige hyperbellignende grafer og specielt for a=-1 giver det en omvendt proportionalitet fordi x^(-1) = 1/x, hvorfor y = b*x^(-1) bliver til y = b/x

Brugbart svar (1)

Svar #2
22. juni 2008 af mathias-s (Slettet)

Hvorfor har denne kun en halv parabel som graf?

"Et konkret eksempel kunne være y = 3*x^2 som jo blot er et andengradspolynomium med toppunkt i (0,0) og har en halv parabel som graf."

Den har da en hel?

eller hvad :)?

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Du ville have haft ret, hvis ikke det var fordi, der er det krav til potensfunktioner, at x>0. Derfor ser man kun på den ene halvdel...

Grunden til kravet x>0 bliver mere tydeligt, hvis man ser på f.eks. kvadratroden, som også nævnes ovenfor - man kan ikke definere potensfunktioner for negative tal, hvis potensen ikke er et helt tal (eller en brøk med ulige nævner, men det er en længere og anden historie).

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. juni 2008 af Isomorphician

Grafen for potensfunktionen er defineret for R+
Specielt for a € Z gælder det at grafen er defineret for R.

3x^2 har en hel parabel som graf.
Eksemplet i #1 må være en tastefejl.

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. juni 2008 af Isomorphician

I #3's kontekst, ignoreres insinuationen om tastefejl i #4

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Det er ikke en fejl set i forhold til den praktiske anvendelse af potensfunktioner eller pensum i 1.g! I den 1.g bog, jeg underviser efter, defineres det sådan. Man kan jo heller ikke have både positive og negative tal på samme akse i det dobbeltlogaritmiske system!!!

Spørgsmålet er nok snarere, om vi skal kalde det "potensfunktion" eller "andengradspolynomium". Jeg vil mene - for ikke at blande tingene sammen - at det er bedre at kalde jeres udvidelse for et andengradspolynomium...

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. juni 2008 af mathon

når a€R
defineres
x^a = e^(a*ln(x)), x€R+

men hvis

SPECIFIKT a€Z
udvides potensbegrebet til folkeskolebetydningen

a€Z+
...................................a faktorer
x^a = a*a*a*a*..............................*a

a=0
x^a=1

a€Z-
x^a = 1/x^|a|

under potensiel vækst er interessen rettet mod en fremtidig udvikling
y = b*x^a, med x€R+
hvor
y = b*x^t, hvorfor x oftest er t(iden)
så
ovenstående "halvgraf"diskussion ikke kommer på tale.

Der opfordres således til
at sondre
mellem
1) potensfunktion y = x^a
2) potensiel vækstudvikling y = b*x^a

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. juni 2008 af mathon

"...karakteristiske egenskaber ved potensfunktionen y = b * x^a og dens graf"

log(y) = a*log(x) + log(b), x€R+

den
lineære sammenhæng mellem log(y) og log(x), som fremgår af en afbildning i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem...

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. juni 2008 af mathon

#7
rettelse
y = b*x^t, hvorfor x oftest er t(iden)
--->
y = b*t^a, hvorfor x oftest er t(iden)

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. juni 2008 af mathon

vedrørende
#8
se evt.
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=550583

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. juni 2008 af mathon

#7
yderligere rettelse

x^a = a*a*a*a*..............................*a
-->
x^a = x*x*x*x*..............................*x

Brugbart svar (0)

Svar #12
27. januar 2012 af MathiasFjelsted (Slettet)

vi skal vise at når x ændres med en faktor k, så ændres y med en faktor ka
antag vi har et punkt der(x1;xy) der ligger på grafen for potensfunktionen, så gælder
Y1=b*a1a
nu vælger vi en ny x-værdi, x1 som er k gange den første x-værdi, x1
X2=k*x1
nu skal vi så vise at den y-værdi det hører til x2; det vil sige at y2, er ka gange y1
Y2=b*x2a
Y2= b*(k*x1)a
Y2=b*ka*x1a
Y2=ka*y1

Forklar og vis også hvordan man kan besvare følgende:
Lad f(x) = 5·x1,35 .
Hvor mange procent ændres funktionen (dvs. y) med, når x vokser med 40% ?

Brugbart svar (0)

Svar #13
28. januar 2012 af mathon

@#12

generelt:
y = f(x) = b·x^a

y₂ = f(k·x) = b·(k·x)^a = b·k^a·x^a = k^a·(b·x^a) = k^a·f(x) = k^a·y₁

y₂/y₁ = k^a

hvoraf
relativ ændring
Δy/y = (y₂-y₁)/y₁ = (y₂/y₁) - 1 = k^a - 1

   relativ ændring
   i procent
                       ((Δy/y)·100)%) = (k^a - 1)·100)%

specifikt:
((Δy/y)·100)%) = (1,4^1,35 - 1)·100)% = 57,5%

Skriv et svar til: Potensfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.