Matematik
Bevis for cosinusrelationerne
06. juni 2008 af
synkendeskude (Slettet)
Jeg skal bevise cosinusrelationerne i en vilkårlig trekant og jeg er kommet så langt:
Jeg lavede en trekant og delte den op i to retvinklede trekanter og udtrykte pythagoras i de to;
h^2+x^2 =c^2 og (a-x)^2+h=b^2
Så trak jeg dem fra hinanden
(a-x)^2+h^2 -(h^2 +x^2 ) = b^2-c^2
a^2+x^2 -2ax+h^2-h^2-x^2 = b^2 -c^2
a^2 +2a*cosB*c=b^2-c^2
her kan jeg så ikke komme længere.. Når jeg trækker a^2 fra på begge sider, og dividerer med 2a*c, får jeg:
cosB=b^2-c^2-a^2/2a*c
og det kan jo ikke passe?
Er der nogen der kan fortælle mig hvad jeg gør forkert?
Jeg lavede en trekant og delte den op i to retvinklede trekanter og udtrykte pythagoras i de to;
h^2+x^2 =c^2 og (a-x)^2+h=b^2
Så trak jeg dem fra hinanden
(a-x)^2+h^2 -(h^2 +x^2 ) = b^2-c^2
a^2+x^2 -2ax+h^2-h^2-x^2 = b^2 -c^2
a^2 +2a*cosB*c=b^2-c^2
her kan jeg så ikke komme længere.. Når jeg trækker a^2 fra på begge sider, og dividerer med 2a*c, får jeg:
cosB=b^2-c^2-a^2/2a*c
og det kan jo ikke passe?
Er der nogen der kan fortælle mig hvad jeg gør forkert?
Svar #1
06. juni 2008 af mathon
h^2+x^2 =c^2 og (a-x)^2+h=b^2
-->
h^2+x^2=c^2 og (a-x)^2+h^2=b^2
og x = c*cos(B)
hvoraf
(a-x)^2+h^2=b^2
a^2 - 2ax + (x^2+h^2) = b^2
a^2 - 2ac*cos(B) + c^2 = b^2
og
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)
-->
h^2+x^2=c^2 og (a-x)^2+h^2=b^2
og x = c*cos(B)
hvoraf
(a-x)^2+h^2=b^2
a^2 - 2ax + (x^2+h^2) = b^2
a^2 - 2ac*cos(B) + c^2 = b^2
og
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)
Svar #2
06. juni 2008 af synkendeskude (Slettet)
Ah, okay så..
Men jeg forstår ikke helt når du erstatter x med cosB*c
a^2-2ac*cosB+c^2... Burde det ikke være a^2-2ac*cosB+cosB*c^2, hvis X = cosB*c?
Men jeg forstår ikke helt når du erstatter x med cosB*c
a^2-2ac*cosB+c^2... Burde det ikke være a^2-2ac*cosB+cosB*c^2, hvis X = cosB*c?
Svar #3
06. juni 2008 af Mikkat (Slettet)
Du skriver:
a^2+x^2 -2ax+h^2-h^2-x^2 = b^2 -c^2
Dette kan reduceres til
a^2-2ax = b^2 -c^2
Hvis x erstattes med c*cosB fås:
a^2-2a*c*cosB = b^2 -c^2
eller
b^2=a^2+c^2-2accosB
som er den ene af cosinusrelationerne.
a^2+x^2 -2ax+h^2-h^2-x^2 = b^2 -c^2
Dette kan reduceres til
a^2-2ax = b^2 -c^2
Hvis x erstattes med c*cosB fås:
a^2-2a*c*cosB = b^2 -c^2
eller
b^2=a^2+c^2-2accosB
som er den ene af cosinusrelationerne.
Skriv et svar til: Bevis for cosinusrelationerne
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.