Matematik
Faktorisering
10. juni 2008 af
Daniel TA (Slettet)
Hej.
Er der nogle der kan forklare hvordan man kommer fra:
ax^2+bx+c til a(x-x1)(x-x2)
Det er mat. A
Er der nogle der kan forklare hvordan man kommer fra:
ax^2+bx+c til a(x-x1)(x-x2)
Det er mat. A
Svar #2
10. juni 2008 af Esbenps
a(x-x1)(x-x2)
= a(x^2-x*x1-x*x2+x1*x2)
= ax^2-ax*x1-ax*x2+ax1*x2
= ax^2 - ax(x1+x2)+ax1*x2
x1+x2 = (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a) + (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)
= (-2b)/(2a) = -b/a
x1*x2 = (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a) * (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)
= (b^2-(b^2-4ac))/4a^2
= (4ac)/4a^2
= c/a
Dette giver nu:
a(x-x1)(x-x2) = = ax^2 - ax(-b/a)+a*c/a = ax^2+bx+c
Dette var måske den anden retning, men ellers kan du evt. starte med følgende:
ax^2 + bx + c = a(x^2 + x*b/a + c/a)
x1+x1 = ... = -b/a
x1*x2 = ... = c/a
a(x^2 + x*b/a + c/a)
= a(x^2 - x*(x1+x2) + x1*x2)
= a(x^2 - x*x1 - x*x2 + x1*x2)
= a(x-x1)(x-x2)
Der findes helt sikkert andre måder at gøre det på...
= a(x^2-x*x1-x*x2+x1*x2)
= ax^2-ax*x1-ax*x2+ax1*x2
= ax^2 - ax(x1+x2)+ax1*x2
x1+x2 = (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a) + (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)
= (-2b)/(2a) = -b/a
x1*x2 = (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a) * (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)
= (b^2-(b^2-4ac))/4a^2
= (4ac)/4a^2
= c/a
Dette giver nu:
a(x-x1)(x-x2) = = ax^2 - ax(-b/a)+a*c/a = ax^2+bx+c
Dette var måske den anden retning, men ellers kan du evt. starte med følgende:
ax^2 + bx + c = a(x^2 + x*b/a + c/a)
x1+x1 = ... = -b/a
x1*x2 = ... = c/a
a(x^2 + x*b/a + c/a)
= a(x^2 - x*(x1+x2) + x1*x2)
= a(x^2 - x*x1 - x*x2 + x1*x2)
= a(x-x1)(x-x2)
Der findes helt sikkert andre måder at gøre det på...
Svar #5
10. juni 2008 af grisehønen (Slettet)
Et bevis der er lidt nemmere at huske :)
(Og uden en masse omskrivninger :))
p(x) = ax^2+bx+c
q(x) = a(x-x1)(x-x2)
Af definition er p(x1) = q(x1) og p(x2) = q(x2).
Da q(x) = ax^2-a(x1+x2)+a*x1*x2 har vi at r(x) = p(x)-q(x) = (b+a*x1+a*x2)x +c-a*x1*x2.
Da r(x1) = 0 og r(x2) = 0 ses at r(x) = 0 for alle x(Det er jo en linie.)
Altså ses at c = a*x1*x2 og b = -a(x1+x2) hvorfor p(x) = q(x)
(Og uden en masse omskrivninger :))
p(x) = ax^2+bx+c
q(x) = a(x-x1)(x-x2)
Af definition er p(x1) = q(x1) og p(x2) = q(x2).
Da q(x) = ax^2-a(x1+x2)+a*x1*x2 har vi at r(x) = p(x)-q(x) = (b+a*x1+a*x2)x +c-a*x1*x2.
Da r(x1) = 0 og r(x2) = 0 ses at r(x) = 0 for alle x(Det er jo en linie.)
Altså ses at c = a*x1*x2 og b = -a(x1+x2) hvorfor p(x) = q(x)
Svar #6
10. juni 2008 af grisehønen (Slettet)
Eller endnu kortere: Det ses at p(x)-q(x) er et førstegradspolynomie med mere end en rod, hvorfor p(x)-q(x) = 0 eller p(x) = q(x) for alle x.
Skriv et svar til: Faktorisering
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.