Matematik

Polynomier og differentialregning

10. juni 2008 af Beki (Slettet)

Forklar, hvordan grafen for 3. og 4. gradspolynomier kan se ud og, hvordan man gør rede for deres monotoniforhold.

Jeg har fundet frem til, at ved polynomier af ulige grad vender benene hver deres vej, mens de ved polynomier af lige grad peger samme vej.
Og at ulige poly. skal have mindst en rod.

Men hvordan er det nu, at det står til med nulpunkter osv.
Et tregradspolynomium, hvor man rødder kan det have?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. juni 2008 af dnadan (Slettet)

Faktorisering for et 3.grads polynonium:
p(x)=a(x-r1)(x-r2)(x-r3)

Faktorisering for et 4. grads polynonium:
f(x)=a(x-r1)(x-r2)(x-r3)(x-r4)

- Hvis dette ikke er til en hjælp, så overvej, hvor mange nulpukter et førstegrads polynonium maksimalt kan have. Det samme overvejes med et andengradspolynonium. Hvordan står det mon til med 3. - og 4. grads polynomier?

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. juni 2008 af fox7400 (Slettet)

Et n'te grads polynomium har talt med multiplicitet altid n komplekse nulpunkter. Polynomier af ulige grad har mindst et reelt nulpunkt: dette ser du ved at lade x gå mod hhv + uendelig og - uendelig -- observer at grænseværdierne har modsat fortegn - benyt nu kontinuiteten.

Svar #3
10. juni 2008 af Beki (Slettet)

Tak :)

Er det så rigtig forstået, at et 4.gradspoly. max kan have 4 nulpunkter - men at den ikke nødvendigvis altid har det.
Et 3. gradspoly. kan således max. havde tre nulpunkter - men har det heller ikke nødvendigvis altid.

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. juni 2008 af fox7400 (Slettet)

3 grad: har altid mindst en reel løsning. Max 3 løsninger.
4 grad: behøver ikke have reelle løsninger. Max 4 løsninger.

eksempel:
3 grad:
1 nulpunkt: x^3 - x^2 + x -1 ( = (x-1)(x^2+1) )
2-3 nulpunkter: x^3 - 2* x^2 - x -2 ( = (x-1)(x-2)(x+1))

undersøg om: et 3grads poly har 2 reelle nulpunkter -> det har 3 reelle nulpunkter.

4 grad:
0 nulpunkter: x^4 = -1
1 nulpunkt: -> 2 nulpunkter: (x^2-1)(x^2+1)
2 nulpunkter: se ovenfor.
3 nulpunkter -> undersøg om dette medfører 4 nulpunkter.
4 nulpunkter: (x-1)(x-9)(x+6)x

Skriv et svar til: Polynomier og differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.