Bevistyper

#0: Det vil jeg mene, ja.

Tak for det(-:

Bevistyper
Der findes forskellige måder at bevise en sætning på:

1) Kontraposition : Man beviser en implikation (A ? B) ved at antage at konklusionen B er falsk og derefter vise at hypotesen må være falsk.

2) Induktion: Man beviser at sætningen er sand i ét bestemt tilfælde og derefter bevise at de efterfølgende tilfælde også er sande.

3) Direkte bevis : Man beviser en implikation (A ? B) ved at antage at hypotesen A er sand og derefter vise at konklusionen B er sand.

4)Modstrid: Man antager at det modsatte er sandt og beviser at det ikke passer ved at finde en modstrid.


----------------------------

1) Bevis ved kontraposition

Har man først lært de direkte beviser, så er bevis ved kontraposition egentlig ikke særligt meget sværere. Stillet overfor en ”Hvis-så”-sætning kan man udnytte, at man i stedet for at vise det direkte i stedet kan vise at det modsatte gælder, for så vil sætningen automatisk også gælde. Det lyder måske lidt kryptisk, men se engang:

Logisk set er det det samme at sige at

"Hvis jeg bor på Amager, så bor jeg i Danmark".

Omvendt kan man sige:

"Hvis jeg ikke bor i Danmark, så bor jeg i ikke på Amager".

Tænk det lige igennem engang!

p => q <=> ¬q => ¬p
eller
p => q er det samme som (ikke q) => (ikke p)



Vi kan altså, hvis det viser sig at være for besværlig at vise det direkte, i stedet vise det modsatte udsagn – dette kaldes bevis ved kontraposition .
Lad os tage et eksempel:

Sætning:

For alle naturlige n tal gælder det:

n² er et lige tal ? n er et lige tal



Det er let at finde på eksempler, fx er 16 et lige tal og det er 4 også, 36 er et lige tal, og det er 6 også, osv. Men det bringer os ikke nærmere et bevis.

Bevis: Vi forsøger os med et bevis ved kontraposition. Det modsatte udsagn er så:

n er ikke et lige tal => n² er ikke et lige tal.

dvs

n er et ulige tal => n² er et ulige tal.

Hvis n er et ulige tal kan det skrives på formen n = 2k + 1. Hvorfor kan det det? Jo, fordi alle lige tal kan skrives på formen n = 2k (alle lige tal er jo delelige med 2), og de ulige må jo så være de andre (der som bekendt ikke er delelige med 2).
n kan altså skrives på formen n = 2k+1, hvor k er et eller andet positivt heltal.
Men så må n² = (2k +1)2 så n² = 4k²+ 2k + 1 (vi bruger kvadratsætningen!) og
n² = 2(2k² + k) + 1 (regn selv efter).
Nu kommer argumentet, så hold nu fast: Se på det der står inde i parentesen: 2k² + k.
Hvis k er et positivt heltal, så er 2k² + k det også. Sætter vi nu m = 2k² + k kan vi skrive at: n² = 2m + 1, hvor m er et eller andet positivt heltal.
Men så er n² et ulige tal (det kan nemlig ikke deles med 2), og så er sætningen vist, for nu har vi vist at: hvis n er et ulige tal så er n² er et ulige tal
Hvilket er det samme som at vise at:
n² er et lige tal ? n er et lige tal




2) Induktion er en bestemt type matematisk bevis, som er meget velegnet til at bevise at en matematisk hypotese er sand for alle naturlige tal, eller andre talmængder, som er velordnet.

Induktionsprincippet består af 2 skridt: basisskridtet (induktionsstarten, startbetingelsen) og induktionsskridtet.

Basisskridt: I basisskridtet beviser man at hypotesen er sand ved det mindste tal i talmængden. Dette er typisk 1, da man ofte vil bevise sætningen for de naturlige tal.

Induktionsskridt: I induktionsskridtet beviser man, at hvis hypotesen gælder for tallet n (denne antagelse kaldes induktionsantagelsen), så gælder den også for tallet n+1.
På denne måde kan man bevise at hypotesen gælder for alle hele tal fra basisskridtet og opefter. Hvis tilfælde 1 er sand, så er tilfælde 2 også sand, da tilfælde 1 er sand. Så er 3 også sand, når 2 er sand, osv.


Dette princip kan sammelignes med dominoeffekten. Hvis du har en lang række dominobrikker stående efter hinanden, kan du udlede følgende:

Basisskridt: Den første dominobrik vælter.
Induktionsskridt: Når en dominobrik vælter, vil den næste vælte.




3) Direkte bevis.

Fx er beviset for toppunktet for andengradspolynomiet et DIREKTE BEVIS.

Man regner sig frem til andengradspolynomiets toppunkts andetkoordinat
ved at indsætte -b/(2a) på x's plads i y = ax^2 + bx + c

y = ((b^2)/4) - ((b^2)/(2a)) + c

<=>

y = -D/(4a)


BEVIS (beviset forløber ved DIREKTE ensbetydende regninger)

(-b/(2a)) indsættes på x's plads i y = ax^2 + bx + c

<=>

y = a(-b/(2a))^2 + b(-b/(2a)) + c

<=>

y = a(b^2/(4a^2) – b^2/(2a) + c

<=>

y = b^2/(4a) – b^2/(2a) + c

<=>

y = b^2/(4a) – 2b^2/(4a) + 4ac/(4a)

<=>

y = (b^2 – 2b^2 + 4ac) / (4a)

<=>

y = (– b^2 + 4ac) / (4a)

<=>

y = – (b^2 – 4ac) / (4a)

<=>

y = – D/(4a)


Således har vi nu vist, at
toppunktet ligger i (x,y) = ( – b/(2a) ; – D/(4a) )

(Forinden har man selvfølgelig fundet toppunktets x-koordinat -b/(2a) vha differentiallregning. Men det er en anden historie).

4) Find selv et MODSTRIDSBEVIS i din bog...

Mange tak for den gode besvarelse.