Matematik

Induktion.

20. juni 2008 af matti89 (Slettet)

Hej alle.
Jeg skal snart op til matematik eksamen, men har et induktionsbevis, som jeg har rimelig svært ved at forstå, så ville hjælpe rigtig meget hvis der er nogen, som kan hjælpe mig med hvad der sker led for led.

For alle naturlige tal n gælder: q(n)1+3+5+..+(2n-1)=n^2
Induktionsstart: q(1) siger, at 1=1^2 er opfyldt.
Induktionsskridtet: Vi antager, at påstanden Q(n) er rigtigdet vil sige der gælder: q(n):1+3+5+...+(2n-1)=n^2
Jeg vil så vise, at q(n+1):1+3+5+..+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(n+1)^2 er rigtig.
1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=(+1)^2 er rigtig.
Ved brug af forudsætningen får jeg:
1+3+5+..+(2n-1)+(2n+1)=(1+3+5+..+(2n-1))+(2n+1)=n^2+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Jeg kan umiddelbart kun se ét skridt, der kan være vanskeligt at forstå (medmindre det er selve induktionsbevistypen, du har svært ved at forstå).

Induktionsantagelsen giver dig, at 1+3+...+(2n-1)=n^2. Beviset handler nu blot om at vise, at hvis man lægger 2n+1 til dette, så får man (n+1)^2.

Udregn (n+1)^2:
(n+1)(n+1)=n*n+n*1+1*n+1*1
_________=n^2+2n+1 (her er jo præcis lagt 2n+1 til n^2)

Det kunne man også have vist vha. kvadratsætningen, som siger:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Svar #2
20. juni 2008 af matti89 (Slettet)

nej jeg forstår godt selve induktionsbevistypen, men hvad er det for en af leddene hvor jeg bruger kvadratsætningen?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

når du omskriver n^2+2n+1 til (n+1)^2

Svar #4
20. juni 2008 af matti89 (Slettet)

i dette led: Jeg vil så vise, at q(n+1):1+3+5+..+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(n+1)^2 er rigtig. ?
hvad kan man sige om dette led: Ved brug af forudsætningen får jeg:
1+3+5+..+(2n-1)+(2n+1)=(1+3+5+..+(2n-1))+(2n+1)=n^2+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2 ?

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

første lighedstegn følger af forudsætningen/antagelsen
andet lighedstegn følger af kvadratsætningen med a=n og b=1

Svar #6
20. juni 2008 af matti89 (Slettet)

tak for det så det vil sige at når jeg benytter mig af kvadratsætningen får jeg (n+1)^2?

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

præcis, for sætningen siger:

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

og hvis a=n og b=1 står der:

(n+1)^2=n^2+1^2+2*n*1

dvs.

(n+1)^2=n^2+2n+1

Svar #8
20. juni 2008 af matti89 (Slettet)

mange tak for hjælpen(-:

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Det var så lidt!

Skriv et svar til: Induktion.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.