Fourier-rækker

Først har du den n'te Fourierkoefficient for f med hensyn til det ordninære ortonormalsystem {e_n | n € Z} og du bestemmer de første Fourierkoefficienter.

(P_N f)(x) = c_0 + SUM(n=!0, -oo til oo) c_n

c)

i) Konvergerer Fourierrækken for f punktvist mod f?
- Ja, ifølge hovedsætningen om punktvis konvergens. Fourierrækken for en f i vores rum konvergerer punktvist mod f overalt på den reelle akse.

ii) Konvergerer Fourierrækken for f uniformt mod f?
- Nej. Vores grænsefunktion er diskontinuert. Så kan vi betragte negationen af sætningen. Altså har vi: f1,...,fn er diskontinuerte funktionsfølger af f og føægen {fn} konvergerer ikke uniformt mod f.

iii) Konvergerer Fourierrækken for f uniformt mod L^2?
- Ja, da en Fourierrække for enhver funktion f liggende i vores rum konvergerer mod f i L^2.

d) Vis SUM(k=0;oo) 1/(2k+1)^2 = pi^2/8
Fra Parsevals Identitet er
||f||^2 = 1/(2pi) * S(-1;1) |f(x)|^2dx = 1/2

SUM(-oo;oo) |c_n|^2 = ... = 1/4 + 2/pi * SUM(k=0;oo) 1/(2k+1)^2
og hermed er SUM(k=0;oo) 1/(2k+1)^2 = pi^2/8.

Jeg håber, at du kunne bruge det, ellers spørg ;)

Og held og lykke med eksamen!

#1 Det gav mening. Mange tak :-)

.. og god Sankt Hans :)

Det var så lidt ;)

d) Det virker/gælder kun, fordi det er et ortonormalsystem. Det er væsentligt at påpege.