Logaritmer

Regnereglerne er også de samme, men ln og e bruges oftes i den fysiske verden.

Hvorfor bruger vi dem i matematikken, hvis de kun bruges i fysikken??

Nu er e^x et god funktion at have når man regner med differetialligninger f.eks. da den differentieret goíver sig selv.

Ved ikke lige hvor e og ln ellers bliver brugt i matematikken, hvor man ikke kunne bruge log og 10 i stedet for.

Selve ideen med at indføre noget så mærkværdigt som den naturlige logaritme og det naturlige tal e, er at begge disse gør det langt lettere at differentiere. Grafen for funktionen f(x)=e^x har den usædvanlige egenskab, at tangenthældningen i ethvert punkt på grafen er lig punktets y-koordinat - eller funktionsværdi som det hedder. Hvis vi f.eks. kigger på et punkt (x₁,y₁) på grafen for e^x, så vil tangenten til dette punkt være linjen med hældningskoefficient y₁=e^x1.

Lidt anderledes - og mere kort og præcist sagt - opfylder funktionen f(x)=e^x differentialligningen

f'(x)=f(x)

Funktionen har med andre ord sig selv som den afledte! Derfor har den spillet en stor rolle i løsning af differentialligninger i det hele taget, og hvem ved - måske er det disse ligningers særdeles udbredte praktiske anvendelse, der gør at man har valgt at kalde e for "det naturlige tal" og ln for "den naturlige logaritme". Jeg ved det faktisk ikke :)

#4 Tak.

Så som jeg forstår det, er f(x) = f'(x) = e^x og det er den eneste funktion med den egenskab ?

#0 Du oplever det sikkert som besynderligt, at de begge findes, da der er en række formler såsom formlen for halveringskonstant for en eksponentiel funktion y=b·a^x:

T₂=log(2)/log(a) eller T₂=ln(2)/ln(a)

, hvor de to logaritme funktioner ser ud til at være lige gode (og derfor må en af dem være overflødig). Dette skyldes, at der generelt gælder, at log(a)/log(b) = ln(a)/ln(b), så formler hvor der er tale om division mellem to logaritmer bliver så godt som ens uanset om man bruger log eller ln...

#5 Er fuldstændig rigtigt!

Ja, så vidt jeg ved, hvis den kun er differentieret én gang.

Ellers kan du differentiere cos(x) to gange og få -cos(x).

#6  log(a)/log(b) = ln(a)/ln(b) tror jeg ikke på..

log(a)/log(b) = log(a-b)

ln(a)/ln(b) =ln(a-b)

som er forskellige

#9-10

Tror der skulle stå: log(a)/ln(a) = log(b)/ln(b)

Altså er forholdet mellem mellem de to logaritmer konstant: log(a)/ln(a)=k

#11 Hvordan ved du det?

DEn er IKKE entydig for helvede tomhjerner !

f(x) = c*e^x

prøv at diff. den, og derfter behøves I ikke at sige: "DOH! jeg tog fejl. Ham Jens har ret som altid!"

Der gælder, at løsningen til a^x=c kan findes med formlen x=log(c)/log(a). Her er c og a tal, der er større end nul. Derfor er løsningen til e^x=a tilsvarende x=log(a)/log(e) men løsningen er jo pr. definition også ln(a), hvorfor der må gælde ln(a)=log(a)/log(e).

Derfor bliver log(a)/log(b)=log(a)/log(e^ln(b))=log(a)/[log(e)·ln(b)]=ln(a)/ln(b), så #6 stemmer skam!

#13 øh okay?

Det lader til at #11 er helt forkert, jeg beklager!

16 Det går nok ;)

se evt.
http://peecee.dk/upload/view/126682

#18 Tak:)

Jeg må sige, at jeg er imponeret. Det går hurtigt med hjælpen herinde !! :)

#13 Du har fuldstændig ret! Det er grafens udviklingshastighed og ikke hvor den skærer y-aksen, der gør at tangenthældningen er lig y-koordinaten i ethvert punkt. Således er

g(x)=c·e^x blot en forskydning af f(x)=e^x i x-aksens retning

Dette kan ses ved at sætte g(x)=f(x+s)=e^x+s=c·e^x, hvor c=e^s