Logaritmer

Opløft til tiende på begge sider af lighedstegnet.

#1 Jeg er sikker på, du mener det rigtigt, men for præcisionens skyld vil jeg formulere det: Opløft 10 i de udtryk, der står på hver side af lighedstegnet - og bemærk at lighedstegnet da stadig gælder, fordi 10 opløftet i samme tal giver samme resultat, f.eks.

log(a+b) = log(a)·log(b) ⇔ 10^log(a+b) = 10^{log(a)·log(b)}

Selvfølgelig gælder der også log(a+b)¹⁰ = log(a)·log(b)¹⁰, men det fører ingen steder :)

De opgivne formler er forkerte, så de kan ikke bevises. Du tager sikkert fejl af formlerne

log(ab)=log(a)+log(b)

log(a/b) = log(a)-log(b)

Med hensyn til beviser er det afhængig af hvordan logaritmefunktionen er defineret. I nogle definitioner er den defineret bl. a. ud fra at formlen log(ab)=log(a)+log(b) skal gælde, så i dette tilfælde er den defineret til at gælde og så hverken skal eller kan den  bevises. Den anden formel kan så fås af

log(a) = log(ab/b) = log((a/b)b)=log(a/b)+log(b)

#3 Godt du er opmærksom! Det er efter min mening unaturligt at definere logaritmefunktionen ud fra formlen. Den naturlige definition vil være, at log(a) er løsning til ligningen 10^x = a, hvor a er en positiv konstant. Altså 10^log(a) = a.

Andre definitioner kan være nok så velfungerende, men denne fortæller mest om, hvilken grundidé der overhovedet er i logaritmen.

Da logaritmer altså er eksponenter til tallet 10, gælder alle potensregnereglerne for dem, og deraf følger bl.a. regler som:

log(ab)=log(a)+log(b)

og

log(a/b) = log(a)-log(b)

Men også uden videre f.eks.

log(a^x) = x·log(a)

og

log(^x√a) = log(a)/x

#4

I visse sammenhænge er den mest naturlige definition på logaritmefunktionen netop identiteten

log(ab) = log(a) + log(b)

fordi den udtrykker en isomorfi mellem (R,+) og (R+,*). Øvrige identiteter følger af denne. Det afhænger af sammenhængen, ikke af den enkelte, hvad der er mest naturligt.

#5 Logaritmen opstod ikke ud af en blå luft fordi isomorfi-begrebet var opfundet - det forholder sig omvendt. Logaritmen blev opfundet for at løse et konkret problem... Problemet er nok, at jeg bruger det værdiladede ord "naturligt", men det var naturligt at bruge ind i sammenhængen :) For den grundlæggende forståelse for logaritme-funktionerne - hvilket må være relevant på denne side, da det her handler om gymnasiematematik -  er det efter min mening mest naturligt at forstå selve motivationen for overhovedet at have "opfundet" logaritmer...

Du sætter forresten ordet naturligt = praktisk/velfungerende. Er det nu også korrekt? Dog giver jeg dig ret, jeg mener naturlig ift. netop denne sammenhæng, som er lektiehjælp på gymnasieniveau. Jeg synes generelt man bør undgå for mange "sådan er det bare" argumenter, når elever skal tilegne sig nyt stof, for så fremstår det bare som hokus pokus... Logaritmen er ikke dukket op ud af den blå luft! Derfor synes jeg min definition hører hjemme her!

Logaritmers oprindelse er som en relation mellem aritmetiske og geometriske rækker med det formål at reducere multiplikationer og divisioner til additioner og subtraktioner. Historisk er definitionen på logaritmer derfor netop egenskabsbaseret.

Isomorfien er mere end naturlig i betydningen "bekvem"; den er kanonisk idet det er den eneste (kontinuerte) isomorfi mellem nævnte grupper. Når jeg bruger ordet "naturlig" i betydningen "bekvem" er det foranlediget af dets betydning i #4. Det kan være bekvemt med en syntaktisk definition idet den er operationel. Det kan være bekvemt med en semantisk definition som i #5 idet den træner den studerende i at karakterisere matematiske objekter ved deres egenskaber. Hvorvidt elever fordøjer den ene bedre end den anden har jeg ingen anelse om. Mine egne Ph.D studerende var her til morgen af den opfattelse, at den semantiske definition er at foretrække da almindeliggørelsen til eksempelvis matrix Lie grupper og deres Lie algebraer er nærmest triviel. Andre studerende har givetvis andre præferencer. Derfor må det udfra sammenhængen vurderes hvad der er mest "naturligt".