Talteori

Start med at kontatere, at 10⁶ har rest 1 efter division med 7, hvorfor det er nok at undersøge 10⁰, 10¹, ..., 10⁵:

10⁰ har rest 1

10¹ har rest 3

10² har rest 2

10³ har rest 6

10⁴ har rest 4

10⁵ har rest 5

Derfor er svaret 7|a hvis og kun hvis 7|a₀+3a₁+2a₂+6a₃+4a₄+5a₅  (+a₆+3a₇+...)

ja det har vi også, men det er lidt "grimt", vi leder efter om der skulle være en "pænere" måde, skulle jeg naturligvis have skrevet.

Men tak for svaret.

tja..et forslag, måske lidt pænere men til gengæld ikke kortere:

7| [ a0+3a1+2a2+6a3+4a4+5a5 +...+ a_k + 3a_(k+1) + 2a_(k+2) + 6a_(k+3) + 4a_(k+4) + 5a_(k+5) +...+ a_n+ 3a_(n+1) + 2a_(n+2) + 6a_(n+3) + 4a_(n+4) + 5a_(n+5)], for 6|k og for 6|n

#3 Jeg kan ikke se forskellen på din og min opskrivning. Hvis man skal bruge en smart notation, vil jeg foreslå summa-tegnet:

7 går op i x=Σ a_k·10^k, hvis og kun hvis 7 går op i Σ q_k·a_k, hvor

q_6n = 1

q_6n+1 = 3

q_6n+2 = 2

q_6n+3 = 6

q_6n+4 = 4

q_6n+5 = 5

Grunden til at det er nødvendigt med hele seks forskellige koefficienter her, således at metoden ikke bliver "pæn", er at vi taler om tal i 10-talssystemet og disses rest ift. division med 7. Tallet 10 har rest 3 efter division med 7, og restklassen 3 har orden 6 i gruppen Z/7Z, så det kan ikke være anderledes.

Der er dog én smart ting, man kunne gøre. Man kan samle 1 og 6, 3 og 4, samt 2 og 5. Således skal man se på summen:

1·(a₀-a₃) + 3·(a₁-a₄) + 2·(a₂-a₅)  +  1·(a₆-a₉) + 3·(a₇-a₁₀) + 2·(a₈-a₁₁)

7 går op i x hvis og kun hvis det går op i ovenstående sum. Dette skyldes at tal med rest 6 efter division med 7 også kan betragtes som havende rest -1 efter division med 7. Hvis f.eks. man ser på 7n+6, så har dette tal tydeligvis rest 6 efter division med 7, men 7n+6 = 7(n+1)-1, så det har også rest -1 efter division med 7, hvis man ser sådan på det. Tisvarende argument giver de andre sammensætninger, nemlig 4 svarer til -3 og 5 svarer til -2.

Hvis jeg skal skrive dette med summatinstegn, så bliver det:

∑r_k·(a_k-a_k+3)

, hvor k gennemløber indeksmængden I = {nεN | n's rest efter division med 6 er 0, 1 eller 2}

og

r_6n = 1

r_6n+1 = 3

r_6n+2 = 2

For at dette ikke forbliver ren notation og teori, supplerer jeg her med et regneeksempel. Faktisk vil jeg lige udvide bevidstheden om disse regnemetoder ved at tilføje, at den ovennævnte sum har samme rest efter division med 7, som tallet x har.

Taleksempel

Jeg ønsker at undersøge hvilket et af disse 7 på hinanden følgende tal, der kan divideres med 7:

715.487.623.058, 715.487.623.059, 715.487.623.060, 715.487.623.061, 715.487.623.062, og 715.487.623.063

Derfor ser jeg på det første tal og udregner:

1·(8-3) + 3·(5-2) + 2·(0-6) + 1·(7-5) + 3·(8-1) + 2·(4-7)

= 1·5 + 3·3 + 2·(-6) + 1·2 + 3·7 + 2·(-3)

= 5 + 9 - 12 + 2 + 21 - 6

= 19

Og tallet 19 = 7·2 + 5 har altså rest 5 efter division med 7, så det har 715.487.623.058 også. Derfor må tallet, der er to større, være det rigtige svar, dvs:

715.487.623.060 kan altså divideres med 7 (jeg har ikke tjekket med en lommeregner, så lad os nu se)