HJÆLP

hej:)

er der nogen som gider at læse det her igennem og komme med input? hvis i støder på nogle fejl eller noget der ikkke rigtig giver mening må i meget gerne skrive det. det skal nemlig være perfekt da det er en del af min opgave besvarelse til min SRP:

Redegør for, at påstanden er sand for n=4, indledt med en gennemgang af relevante dele af talteorien, herunder pythagoræiske tripler:
Diophantos fra Alexandria, som omkring 250 e. Kr. behandlede i Arithmetica flere elementære problemer i taltorie. Han arbejde for det meste med teorier som skulle besvares med hele tal, derfor kaldes de diofantiske.

Talteori er dele af matematikken, som omhandler forskellige teorier om tal, eksempelvis, primtal og Fermats sidste sætning. I forbindelse med talteori regner man for det meste kun med hele tal.

En fuldstændig løsning til den pythagoræiske ligning:
Pythagoræiske ligning:

x2 + y2 = z2

Disse talsæt kalder man for pythagoræiske tripler. Talsættet (x,y,z) kaldes for et pythagoræisk triple, og talsættet (3,4,5) er af den grund et pythagoræisk triple. (6,8,10) og (15,20,25) er ikke primiske, fordi de fremgår af det primitive talsæt (3,4,5) ved multiplikation. Jeg vil starte med at reducere løsningerne til de såkaldte primitive pythagoræiske tripler, ,man kan altså ud fra de primitive beskrive samtlige pythagoræiske tripler.

Definition 1:
Et primitivt pythagoræisk triple (x,y,z), er faktisk et pythagoræisk triple hvor både x, y, og z er primiske, altså x er ulige, y er lige, og z > 0.

Fx er talsættet (3,4,5) et primitivt pythagoræisk triple, da talsættet stemmer overens med definitionen (1), x som er 3 er et ulige tal, y som er 4 er et lige tal, og tilslut z som er 5, er et tal større end nul.

Øvelse 1:
I denne øvelse vil jeg bevise, at hvis (x,y,z) er et pythagoræisk triple, hvor x, y, og z indbyrdes er primiske, så må en af x og y lige og den anden ulige:
Dette kan gøres ved at skrive:

x = 2k + 1 og y = 2h + 1

Nu indsætter jeg så de såkaldte tal ind i den oprindelige ligning:
z2 = x2 + y2 = (2k + 1)2 + (2h + 1)2 = 4k2+4k+1 + 4h2+4h+1 = 4(k2+k+h+h) + 2
Altså er z2 lige, og derfor må z også være lige. z2 er ikke delelig med 4, fordi z2 giver 2 ved division med 4. Dette er umuligt, da kvadratet på et lige tal er deleligt med 4.
Derfor kan jeg konkludere at et af tallene x og y lige og det andet ulige. Jeg går ud fra det følgende, at x er ulige og y er lige. Derfor må z være ulige, fordi x2 er ulige og y2 er lige.

Jeg vil nu visse Fermats sidste sætning for n=4 er sand, dette kan gøres indirekte, hvor man anvender teknikken fermats nedstigning, dette kan gøres ved at antage at man har en løsning til ligningen x4 + y4 = z2, og at x, y, og z er hele tal, og x,y,x ≠ 0. Man kan ud fra denne løsning ved hjælp af en bestemt metode skabe en ny løsning (x*,y*,z*) som er af positive hele tal, hvor z* er mindre end z.

Man kan bruge denne proces flere gange, men den er selvmodsigende, for der er kun uendelig mange positive hele tal mindre end vores start værdi z. Derfor må man konkludere, at der ikke findes nogle positive heltal løsninger til denne ligning x4 + y4 = z2. Altså må vi gå ud fra at hvis der ingen heltal løsning findes til ligningen x4 + y4 = z2 findes der heller ingen heltal løsninger til Fermats sætning hvor n=4, x4 + y4 = z4.

Sætning 1.
Fermats sidste sætning, i tilfældet af n = 4:

x4 + y4 = z2 (1)

Denne ligning har ingen positive heltal løsninger.

Bevis:
For nu at bevise sætning 1, antager jeg modsætningsbeviset, at der faktisk er en løsning til x4 + y4 = z2, hvor x, y, og z er hele positive tal.
Hvis tallet d er den største fælles divisor af x og y, så må d4 gå op i x4 + y4 = z2, altså d4 er også en multiplikation x4 + y4, som er det samme som z2. Jeg slutter entydigt faktorisering, at d2 går på i z. Så er x’ = x/d, y’ = y/d, og z/d2 også en positiv til ligning (1), og x’, y’ og z’ indbyrdes primiske.

Da fjerdepotenser specielt er kvadrater, kan jeg slutte af Øvelse 1, at en af x’ og y’er lige og den anden ulige. x’ gik hen og blev ulige.. (x’2,y’2,z’) er nu et primitivt pythagoræisk triple. Vi ved fra Sætning 2, at der (skal vi gennemgå dette bevis inden eller?) findes hele tal s og t, så:

x’2 = s2 - t2, y’2 = 2st og z’ = s2 + t2

Da x2 = 2st, har s og t samme fortegn, og både s og t ≠ 0. Hvis dette skulle være negativt, kan jeg skifte fortegn på dem, så ovenstående ligninger gælder med s,t > 0. Vi ved at t og s er indbyrdes primiske, og vi ved også at s og t, at den ene er ulige og den anden lige. Men jeg kan konkludere, at det er s som er ulige, for den første ligning (x’2 = s2 - t2) siger, at (x’,t,s) er et pythagoræisk triple. Da x’, t og s er indbyrdes primiske, vil jeg fra Øvelse 1 have, at enten er y’ eller t ulige. Da y’ er ulige, må t være lige, jamen så må s være ulige.

Nu vil jeg kigge på den anden ligning y’2 = 2st. Den kan man også skrive sådan (y’/2)2 = s(t/2), dette er en opskrivning af et kvadrattal som et produkt af to positive indbyrdes primiske tal. Da er disse tal selv kvadrattal, og jeg kan finde positive hele tal b og c, så s = c2 og t/2 = b2. b og c er indbyrdes primiske. Nu ved jeg at (x’,2b2,c2) er et primitivt pythagoræisk triple, og jeg kan derfor finde to indbyrdes primiske hele tal s’ og t’, så:

x’ = s’2 - t’2, 2b2 = 2s’t’ og c2 = s’2 + t’2

Da b2 = Sv’, har s’ og t’ samme fortegn, som ikke er 0, og dette skulle være negativt skifter jeg fortegn på sø og t’, så ovenstående ligninger gælder med s’,t’ > 0. Jeg har nu igen en opskrivning af et kvadrattal som et produkt af indbyrdes primiske positive tal, og disse er så selv kvadrattal, og jeg kan finde positive hele tal x* og y*, så s’ = x*2, og t’ = x*2.

Sætter jeg z* = c, er min påstand nu, at x*, y* og z* er en positiv heltal løsning til ligning (1). Det at de er hele positive tal, er kendt. Nu tjekker jeg, om de også opfylder ligningen:

x*4 + y*4 = s’2 + t’2 = c2 = z*2.

Nu vil jeg se om min nye løsning har den ønskede egenskab, nemlig at z* < z. Men:

z* = c ≤ c4 = s2 < s2 + t2 = z’ < z.

Nu har vi jeg konstrueret en ny positiv heltal løsning til ligning (1) med mindre z-værdi, og den konstruktion kan anvendes igen og igen i modstrid med, at der kun findes endeligt mange positive z-værdier lavere end det oprindelige z#. 

:)