Matematik opgave - y''=my

#0: En differentialligning af formen y''=-k^2*y har den fuldstændige løsning:

y(t) = A*cos(k*t+delta)

Det forstår jeg ikke lige.

Hva er A,t og delta ?

I teorien står der at y''=-k^2*y har løsningerne

          f1(x)=coskx                       f2(x)=sinkx

Hvordan ved jeg at det skal være cos ?

#1.

Hvem citerer den løsning, fordi den virker da noget besynderlig. Og hvad er delta?

Normalt er løsningen til en ligning på formen y'' = ky givet ved en linearkombination af to uafhængige løsninger til ligningen. I tilfældet med y'' = -k²y er de to uafhængige løsninger givet ved f₁(x) = cos(kx) og f₂(x) = sin(kx). At disse er løsninger ses blot ved at dobbeltdifferentiering af funktionerne og da W(f₁(x), f₂(x)) = cos(kx)kcos(kx) – sin(kx)(–k)sin(kx) = k ≠ 0. Vi har, at den fuldstændige løsning til y'' = –k²y må være f(x) = c₁cos(kx) + c₂sin(kx), hvor c₁ og c₂ er kan bestemmes ved determinantmetoden.

#3: Det er den fuldstændige løsning. Du kan differentiere og bekræfte, hvis det ønskes. :) Det er i hvert fald den løsning, der er relevant i fysikken. :)

#2: A er amplituden, t er din tidsvariabel eller blot din variabel og delta er en faseforskel. A og delta bestemmes ved startbetingelser..

Hmm . Ja altså forstår godt teorien bag det, men kan ikk lige se hvordan jeg skal gribe opgaven an ?  

#4.

Tjah, det er faktisk den løsning til differentialligningen som benyttes ifm. Newtons anden lov for simple harmoniske bevægelser m· d²x/dt² = -Kx, hvor k = √(K/m). Det ses også af

y = Acos(kt + delta)

y' = -kAsin(kt + delta)

y'' = -k²Acos(kt + delta) = -k²y

...at Acos(kt + delta) faktisk er en løsning. Men i matematikkens verden vil jeg stadigvæk benytte mig af løsningen y = c₁cos(kt) + c₂sin(kt). :-)

Fasekonstanten betegnes i øvrigt normalt med 'phi' φ, men det er sådan set lige meget.

#7: Ikke hos os. Jeg har altid set den betegnet med lille delta, men det er blot et notationsspørgsmål.

 Har stadig problemer med at regne opgaven.

Jeg skal bestemme differentialligningen y''=-16y , den løsning, hvis graf går gennem linjeelemente (0,1;1/2) .

#9: Benyt den fuldstændige løsning, der er nævnt tidligere. :) Sæt faseforskelleen til 0 og indsæt herefter dit punkt for at finde konstanterne.

f(x)= c1cos(kx) + c2sin(kx)

1=c1cos(4*0)+c2sin(4*0)       <=>    1=c1  ??

#3 / #6 Hvis jeg må blande mig her … så har #1 også ret. Forbindelsen mellem de to fuldstændige løsninger er som følger:
For at lette regningen sættes ?=δ+π/2 så Acos(kt+δ)=Asin(kt+?) [det er lettere at regne med sinus IMHO]
Ved sum af vinker i sinus fås
Asin(kt+?)=Acos(kt)sin(?)+Asin(kt)cos(?) som med tan(?)=c₁/c₂ og A=√(c₁²+c₂²) giver forbindelsen mellem de to løsninger - idet sin(?)=c₁/A og cos(?)=c₂/A
 

# 12 ... samtlige ? refererer til symbolet phi (som underlig nok ikke ses korrekt?????)

#12
bragt i "oversigt"
se
http://peecee.dk/upload/view/143667

...i dette tilfælde benyttes resultatet i skemaets 3. nederste linje

Har ikke lige læst de andres kommentarer, men den løses således..

y’’= -16y
Der går igennem linieelementet (0,1;½).

Med sætningens betegnelser er k=4, da √16=4, så den fuldstændige løsning til ligningen er:

f(x)= c1cos(4x) + c2sin(4x)

Heri indsættes (0,1):

1 = f(0) = c1cos(0) + c2sin(0) ↔ c1 = 1

Jeg indsætter c1 = 1, og for at udnytte at f '(0) = ½ differentieres:

f '(x) = -4sin(4x) + 4c2cos(4x)

(x,f '(x)) = (0,½) indsættes:

½ = −4sin(0) + 4c2cos(0) ↔ 4c2 = ½ ↔ c2 = 1/8

Den søgte løsning er derfor

f(x) = cos(4x) + (1/8)sin(4x), x ∈ R