Matematik

Bestem koordinatsættet til cirklens centrum og dens radius

14. maj kl. 21:46 af Chrishtxeren - Niveau: A-niveau

Hej folkens,

jeg sidder med en opgave om at bestemme cirklens radius og dens centrum, jeg har søgt et par steder men ved ikke helt hvad jeg skal gøre når ligningen ser sådanne ud på billedet, er der nogen som kunne forklare/vise hvordan man gør?

Mange tak på forhånd.


Brugbart svar (0)

Svar #1
14. maj kl. 22:00 af MentorMath

Hej Chrishtxeren,

Vi kigger på de led, som indeholder henholdsvis x og y, hver for sig. Vi bruger herefter kvadratsætningerne,

(a + b)= a2 + b2 + 2ab,     (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab,

til at omskrive ligningen, så vi ender med to parenteser opløftet i anden og en konstant. Slutteligt omskrives ligningen, så konstanten står på højreside af lighedstegnet.

Giver det mening indtil videre, eller har du brug for at se hvordan det? :)


Svar #2
14. maj kl. 22:08 af Chrishtxeren

#1

Hej Chrishtxeren,

Vi kigger på de led, som indeholder henholdsvis x og y, hver for sig. Vi bruger herefter kvadratsætningerne,

(a + b)= a2 + b2 + 2ab,     (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab,

til at omskrive ligningen, så vi ender med to parenteser opløftet i anden og en konstant. Slutteligt omskrives ligningen, så konstanten står på højreside af lighedstegnet.

Giver det mening indtil videre, eller har du brug for at se hvordan det? :)

Jeg forstår ikke helt hvordan man kan bruge kvadratsætningerne på dette, kan man godt sige y^2 - 21 er en kvadratsætning? Jeg er lidt lost desværre, hvis du villig til det må du gerne vise hvordan, mange tak :)


Brugbart svar (1)

Svar #3
14. maj kl. 22:28 af MentorMath

#2 

Hej, igen, det er helt fair :)

y2 - 21 er ikke en kradratsætning, men blot et matematisk udtryk.

Jeg har prøvet at vise omskrivningerne step for step (se bilag).

I første omskrivning, sætter vi, for overskuelighedens skyld  parenteser omkring x-led og y-led for sig. Vi har i dette tilfælde ikke noget førstegradsled med y, men dette skal ikke forvirre.

I anden omskrivning bruger vi kvadratsætningen, (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab, hvor leddet a svarer til x og leddet 4x svarer til 2ab (kaldet det dobbelte produkt). 

Da leddet a svarer til x, er dette første led. Da 2ab fås ved "2 gange a gange b", er andet led givet ved 4 delt med 2, idet 2·x·2 = 2·a·b.

Altså har vi (x - 2)2. Regnes første led fås x(stemmer) og det dobbelte produkt 2·x·2 = 4x (stemmer). Vi skal dog også opløfte andet led i anden potens, hvorved vi får 2= 4. Da dette led ikke indgår i ligningen trækkes leddet fra (idet vi omskriver til (x - 2)tilføjer vi et 4-tal, som vi ikke har i ligningen), hvorfor vi ender med:

(x - 2)2 - 4.

Samme fremgangsmåde bruges for y.

Det er altid sværere at forklare på skrift, så du kan eventuelt se videoen fra 16:20, hvor metoden forklares med et eksempel:

https://www.youtube.com/watch?v=QY1eN2YpbIY

Hvis du stadig har spørgsmål, må du endelig spørge igen.


Svar #4
14. maj kl. 22:40 af Chrishtxeren

Hej igen,

Jeg tror jeg forstår det nu, men jeg er lidt usikker på hvordan du kom frem til ((x-2)^2 -4) + ((y+0)^2 -0), hvorfor må du gør sådanne? Jeg forstår ikke helt hvorfor man må det, og mange tak igen.

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. maj kl. 22:45 af MentorMath

Det er helt forståeligt, jeg vil meget gerne prøve at forklare det.

Er der et bestemt sted du tænker på i forklaringen fra #3, i forhold til hvordan vi kommer fra

x2 - 4x til (x - 2)2 - 4 og fra y2 til (y + 0)2 - 0 ?

Bare, så jeg ikke kommer til at forklare det på samme måde igen, hvis ikke det giver helt mening.

Eller er det i forhold til noget, der bliver sagt/skrevet i videoen?


Svar #6
14. maj kl. 22:48 af Chrishtxeren

I denne her del forstår jeg ikke helt hvad du mener,

I anden omskrivning bruger vi kvadratsætningen, (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab, hvor leddet a svarer til x og leddet 4x svarer til 2ab (kaldet det dobbelte produkt).

Da leddet a svarer til x, er dette første led. Da 2ab fås ved "2 gange a gange b", er andet led givet ved 4 delt med 2, idet 2·x·2 = 2·a·b.

Håber det giver mening hvilken del jeg mener, altså det tekst og linje 3 i dit bilag du sendte tidligere.

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. maj kl. 23:01 af ringstedLC

#3 Dét er faktisk en del af en kvadratsætning:

\begin{align*} y^2-21 &= y^2-\sqrt{21}^{\,2} \\ &= \bigl(y+\sqrt{21}\bigr)\cdot \bigl(y-\sqrt{21}\bigr) \end{align*}

To tals sum gange to tals differens er lig kvadratet på første led minus kvadratet på andet led.

Den bruges dog ikke her.


Svar #8
14. maj kl. 23:06 af Chrishtxeren

Nårh, jeg tror jeg forstår nu, det også begyndt at blive sent, så må heller gå i seng, hvis jeg bliver i tvivl om noget kan jeg bare spørge min lærer imorgen, siden jeg har ham der, tak for hjælpen og sov godt når du kommer til det :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
14. maj kl. 23:17 af ringstedLC

\begin{align*} \bigl(x^2-4x\bigr)+\bigl(y^2\bigr)-21 &= 0 \\ \bigl(x^2-4x+2^2\bigr)+\bigl(y^2-2\cdot 0\,y+0^2\bigr) &= 21+2^2-2\cdot 0\,y+0^2 \\ \bigl(x-2\bigr)^2+\bigl(y-0\bigr)^2 &= 25=5^2 \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #10
14. maj kl. 23:19 af MentorMath

#6

Okay, super, nu er jeg med. Det er svært at forklare skriftligt, men jeg skal gøre mit bedste. Ellers skal du ikke holde dig tilbage for at spørge igen.

Ideen med omskrivningen er, at vi gerne vil have ligningen til at stå på formen

(x ± ...)2 + (y ± ...)2 = en konstant. 

Dette, da vi gerne vil have ligningen til at ligne den klassiske form for en cirkel, så vi kan aflæse centrum og radius. 

I udtrykket x2 - 4x + y2 - 21 (se bort fra højresiden) har vi ikke to parenteser opløftet i anden. Da vi gerne vil omskrive udtrykket til formen (x ± ...)2 + (y ± ...)2, skal vi have en parentes, som indeholder et x og en parentes, som indeholder et y.

Tilbage til udtrykket x- 4x + y2 - 21.

Vi sætter parenteser om leddene med x og y, så vi kan holde det adskilt (kun for ikke at risikere, at blande x'er og y'er).

Altså (x2 - 4x) + (y2) - 21.

Nu deler vi det yderligere op ved, at nøjes med, at se på parentesen med x'er.

Vi har da (x2 - 4x).

Idet vi gerne vil have skrevet udtrykket om, til et udtryk på formen (a ± b)2, som er lig med a2 + b± 2ab, må vi identificere hvad der svarer til a og b fra udtrykket (x2 - 4x). 

Da tallet a er det led, som sættes i anden, når vi bruger kvadratsætningen, så må vi indtil videre have at

x2 + ... = (x ± b)2.

Idet første led er x, indeholder (udfra kvadratsætningen) det dobbelte produkt også et x og må derfor være givet ved 2·x·....

Da det eneste led vi har i udtrykket (x2 - 4x), der er ganget med et x, må det dobbelte produkt være givet ved 4x. Heraf ved vi at tallet b er givet ved det halve, at det tal, som er ganget med et x.

Altså har vi alt i alt at

a = x, b = 2 og 2ab = 4x.

Heraf får vi (x - 2)2. Udtrykket (x - 2)er dog ikke lig med udtrykket (x2 - 4x), idet leddet b, ikke indgår.

Ved omskrivningen til (x - 2)2 har vi derfor tilføjet et 22 = 4, som vi ikke har.

Leddet trækkes derfor fra igen, og vi ender med

x2 - 4x = (x - 2)2 - 4.


Brugbart svar (0)

Svar #11
15. maj kl. 10:05 af mathon

\small \small \begin{array}{lllllll}\textbf{\#0}\\\\ \textbf{L\ae r dig}\\&\textup{at}\\&\textup{cirklen: }\\&&x^2+2f\cdot x+2g\cdot y+h=0\\&\textup{har centrum:}\\&&C=\left ( -f,-g \right )\\&\textup{og radius:}\\&&r=\sqrt{f^2+g^2-h} \end{}


Brugbart svar (0)

Svar #12
15. maj kl. 10:37 af mathon

Rettelse:


\small \begin{array}{lllllll}\textbf{\#0}\\\\ \textbf{L\ae r dig}\\&\textup{at}\\&\textup{cirklen: }\\&&x^2+2f\cdot x+y^2+2g\cdot y+h=0\\&\textup{har centrum:}\\&&C=\left ( -f,-g \right )\\&\textup{og radius:}\\&&r=\sqrt{f^2+g^2-h} \end{}


Skriv et svar til: Bestem koordinatsættet til cirklens centrum og dens radius

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.