Lidt hjælp til integraler

Brug produktreglen for integraler og kald konstanten for k, så

k*∫f'*gdx, hvor f'=exp(itx) og g=H(g*t). Du kan ikke løse den entydigt, da du ikke har H(g*t) explicit

Jeg er ikke helt med på hvad du mener, jeg har prøvet men kan ikke komme nogen steder, så jeg fandt en anden måde som jeg mener er rigtig men jeg ved ikke halt hvordan jeg kan finde integralet.

Det har jeg lavet!

Vi har at: (g er en konstant)

H(t) = exp(-abs(t))

så må H(g*t) = exp(-abs(g*t))

løse denne her: (integralet er fra - uendelig til uendelig)

h_g(x) =(1/√(2*pi)) ∫ H(g*t) * exp(i*t*x) dt

=lim_(m->∞) (1/√(2*pi)) ∫_-m^m    exp(-abs(g*t))* exp(i*t*x) dt

men så ved jeg ikke hvordan jeg kan komme videre!

Del integralet op i intervaller integralet fra -m til 0 og fra 0 til m. Så slipper du af med det numeriske tegn. Denæst brug at e^a•e^b=e^a+b.

h_g(x) =(1/√(2*pi)) ∫ H(g*t) * exp(i*t*x) dt  //integrallet er fra - inf til inf

=lim(1/√(2*pi)) ∫exp(-abs(g*t))* exp(i*t*x) dt //lim er m->inf og integrallet er fra - m til m
 

= lim(1/√(2*pi))  * (∫exp(t*(i*x-g))dt + ∫exp(t*(i*x-g))dt ) //lim er m->inf og integral 1  er fra - m til 0 og integral 2 er fra 0 til m
 

= lim(1/√(2*pi)) *  ( ((2*g*sinh(g*m)*cos(m*x))/(x*x+g*g)) + ((2*cosh(g*m)*x*sin(m*x))/(x*x+g*g)) +

( ((2*sinh(g*m)*x*cos(m*x))/(x*x+g*g)) - ((2*g*cosh(g*m)*sin(m*x))/(x*x+g*g))) *i  )

er der nogen som ved hvordan man kan forkorte dette!

#4 jeg tror du er på vildspor ... siger hvad siger ∫ f(t)e^itxdt dig?

Lad os først se på integralet for t<=0. Man får med underforstået integratiom gra -m til 0

∫e^-|g*t|•e^i*x*tdt = ∫e^|g|*t• e^i*x*tdt = ∫e^(|g|+i*x)tdt = [e^(|g|+i*x)t/(|g|+i*x)|

her gælder |e^(|g|+i*x)t| = |e^|g|t| ->0 for t -> -oo hvis g ≠0. Den nedre grænse forsvinder altså så integralet bliver e⁰/(|g|+i*x) = 1/(|g|+i*x)

Integralet fra 0 til oo går på samme måde. Her skal du blot beregne ∫e^-|g*t|•e^i*x*tdt

Hej igen! #6

(t<=0)

Jeg er ikke helt med på hvad du gør med grænserne fra 0 til -m:

∫exp(-|g*t|)•exp(i*x*t)dt = [exp((|g|+i*x)t)/(|g|+i*x)|

det har jeg også fået. Når jeg så indsætte grænserne for jeg:

((1)/(i*x+|g|))- ((exp((i*x+|g|)*-m))/(i*x+|g|))

så når jeg indsætter m->∞ for jeg 0.

 Er det rigtigt: (t=>0)

∫exp(-|g*t|)•exp(i*x*t)dt = [exp((-|g|+i*x)t)/(|g|+i*x)|

Når jeg så indsætte grænserne for jeg:

((exp(i*m*x+|g|*m))/(i*x-|g|)) - ((1)/(i*x-|g|))
 

er det rigtigt!

Integranden omskrives til e^-|gt|e^itx=e^-|g||t|+ixt som for

t≤0 e^-|g||t|+ixt=e^|g|t+ixt =e^t(|g|+ix)

t≥0 e^-|g||t|+ixt=e^-|g|t+ixt =e^-t(|g|-ix)

Nu haves

så

... ej man skal vist ikke bare kopier latex-koden og håbe det går godt :/

I de sidste to ligninger bør der naturligvis stå:

og

#7 Jeg skulle nok have været lidt mere udførlig og brugt m; men du har da selv fundet den korrekte nedre grænse. Ellers har jeg brugt |e^{(|g|+i*x)*(-m)}/(|g|+i*x)|=e^-m*|g|-i*x*m/(|g|+i*x)| = e^-m|g|•e^-i*x*m/(|g|+i*x)|. Der gælder at |e^-i*x*m|=1, så man kun behøver at konstatere at e^-m|g| ->0 for m -> oo hvis g ≠ 0. For det resterende se #8 og #9