Blæk(stil) om f'(x)

Her er en håndfuld ting, som du kan overveje. Nogle er mere tekniske end andre; om du vil have dem med afhænger helt og holdent af dine ambitioner.

1) Er det nok at antage, at f er differentiabel (hvilket du i hvert fald som minimum skal gøre!)?

2) Hvad betyder det, at en funktion er aftagende?

3) Hvorfor er det nok at finde de steder, hvor den afledede skifter fortegn (tænk på 1 og en velkendt sætning om nulpunkter for kontinuerte funktioner)?

4) ... og i tråd med 3, hvorfor er det nok at "tage en stikprøve"? Stikprøver er et lidt dårligt ordvalg, i øvrigt.

5) Hvorfor er der maksimums- og minimumssteder for de argumenter x, så f'(x)=0?

6) Kan man være sikker på, at din strategi med max/min-værdier altid giver det rigtige svar? Hvad hvis definitionsmængden f.eks. er hele den reelle akse?

Tak! Det viser at jeg mangler meget.

Vil gerne have dem alle med, men kan slet ikke forklare dem alle. Kun 1 og 2 kan jeg sikkert, måske også 3, 4 og 5, men slet ikke 6.

Vil prøve at forbedre det lidt og så også poste når jeg har prøvet det :)

Hvordan skal man argumentere for 5?
Og hvordan skal 6 forståes.
Og hvilken sætning tænkes der på med 3?

5) Se på definitionen for lokalt max/min for en funktion, og konstatér, at den holder i dette tilfælde.

6) Prøv at bruge din metode på fkt.

f(x) = x^3+10*x^2

for x et reelt tal. Hvad går galt (prøv at tegne grafen for den)?

3) Lad f være kontinuert på [a,b], antag at f(a) og f(b) har forskelligt fortegn. Så findes et punkt c i ]a,b[, så f(c)=0.

Lidt pinligt at spørge om, men..

5.) Kan ikke finde noget i bogen for definitionen af lokalt maks/minimum. Måske vi har lært det, men kan intet finde om det.

6) Har tegnet det på min grafregner og TI-interactive både for f(x) og f'(x) og alt ser da normalt ud. ???

3) Forstår ALDRIG definitioner :( Så kan ikke se hvad jeg kan bruge det til :/

5) En funktion f har lokalt maksimum i a, hvis der findes et epsilon>0 så

f(x)

for alle x i ]a-epsilon;b-epsilon[.
Tilsvarende med minimum.

6) Funktionen er hverken opadtil eller nedadtil begrænset på R, og har derfor hverken maksimum eller minimum. Den har dog lokale ekstremumspunkter, som er dem, du finder med din metode. Forudsætningen for at din metode går godt er generelt, at funktionen er defineret på et lukket interval. Husk også at undersøge endepunkterne i et sådant interval!

3) Hvis du ser på grafen for en kontinuert funktion f med f(a)>0 og f(b)

Jeg mener naturligvis

"for alle x i ]a-epsilon;a+epsilon[."

øverst.

Ok du stiller hvis for store krav til mig :)
5)
Hvad er epsilon?

"En funktion f har lokalt maksimum i a" er a funktionsværdien? Vel ikke et koordinat vel :)


6) ahh er >lidt
Men i alle de opgaver jeg har regnet har dm(x) altid bare været de reele tal. Men det du siger er bare at jeg kun med min metode kan finde de lokale ekstrumumsteder og ikke de globale?
Hvordan kan man finde de globale. Både med lukket eller reelt definitionsmængde?

3) Har lige testet det med f(x)=x^2 og der passer det. Men det virker lidt mærkeligt hvis jeg bare fortæller det ud i luften. Så ja tak, en uddybning ville egentlig være rart :)


BTW har du/nogen tid/lyst til at se den når jeg er færdig og rette lidt igen x)

5) epsilon er et positivt tal. Sagt lidt mindre teknisk, så er a et lokalt maksimum, hvis du ved at være "tæt nok på at" har

f(x)

for alle x "tæt nok på a".

6) Nej, i de opgaver hvor man skal finde max/min for en funktion, er funktionen som regel defineret på et lukket interval. Hvis funktionen ikke er defineret på et lukket interval, er du nødt til dels at se på ekstremumspunkter fundet med din metode, dels ved endepunkter (idet vi antager, at funktionen er defineret på et interval). For sidstnævnte bruger du grænseværdi.

Ofte har funktionen da ikke et maksimum. Et simpelt eksempel er:

f(x)=x, x tilhører ]0,1[.

Denne funktion har hverken max eller min. Tænk lidt over hvorfor (brug definitionen, jeg gav dig tidligere). Den slags mere obskure eksempler skal du dog næppe frygte i gymnasiesammenhæng.

3) Okay, her følger så en forklaring. Vi kan formulere din strategi som følgende resultat:

Lad f være kontinuert på [a,b] og antag, at f(a)=f(b)=0 samt f(c) forskellig fra nul for alle c i ]a,b[. Så har f konstant fortegn på ]a,b[.

For at vise det, antag modsat. Så eksisterer x_1

Forstår du, hvorfor ovenstående viser, at din "stikprøvestrategi" er korrekt?

5) Ok tror jeg dropper den x)

6) Tror vi er enige, mente bare at vi normalt skal finde ekstremumsteder(selvfølglig ikke maksimum og minimum).

Kan dog ikke forklare din opgave med definitionen, men kan sagtens se at der ikke er maksimum og minimum.

3) Mere forvirret end før :)
På [xy]. hvad betyder disse "[ ]" plejer kun at bruge dem på interval form.


Forresten hvad skal man i denne opgave?

Bestemmelse af værdier ved hjælp af f’:
?

6) OK, men din opgave spørger eksplicit om maksimum- og minimumssteder. Derfor er din oprindelige besvarelse ikke tilstrækkelig.

Fint nok at du kan se det, det er også hovedsagen.

3) [x,y] er det lukkede interval fra x til y. Hvis det forvirrer dig, så skal du naturligvis ikke have det med. Det var også blot et forslag til forbedring, og det er dermed ikke strengt nødvendigt for din besvarelse.

Bestemmelse af værdier? Hvis det er den eksakte formulering af spørgsmålet, må du anmode din lærer om at udtrykke sig lidt klarere. Jeg /formoder/, at der er tale om bestemmelse af funktionsværdier. I så fald er det nok tanken, at du skal skrive noget om brugen af det approksimerende førstegradspolynomium.

approksimerende førstegradspolynomium. :S Hvordan det?? (vil lige ringe og høre om opgaven lød præcis sådan)


Har rettet lidt i det. Er det blevet bedre eller bare rodet? Og skal noget væk som ikke er forklaret ordenligt. Tænker specielt på den med f(a)
Og skal man tegne grafer med?


Bestemmelse af monotoniforhold ved hjælp af f’(x):

F’(x) fortæller os hvad tangenthældningen er i et givende x-koordinat i den oprindelige funktion f. Hvis f’(1) er lig med -3, er tangenthældningen til den oprindelige funktion f lig med -3.
Men før vi kan det, må vi vide om funktionen f er differentiabel i ethvert tal x0 i definitionsmængden, da vi ikke bare kan antage at en funktion er differentiabel. Ethvert x i definitionsmængden til f får en differentialkvotient f’(x), som kaldes den afledte funktion af f.
Monotoniforhold fortæller os, i hvilke intervaller en funktion er aftagende eller voksende. For at en funktion må være voksende, må det betyde at tangenthældningen er positiv, dvs. f’(x) skal give et positivt tal. For at en funktion må være aftagende, må det betyde at tangenthældningen er negativt, dvs. f’(x) skal give et negativt tal.
Hvis man så skal bestemme monotoniforholdene må man finde de steder, hvor tangenthældningen skifter fra voksende til aftagende eller aftagende til voksende. En voksende funktion betyder at y-værdien bliver større jo længere x går mod grænseværdien ∞. En aftagende funktion er når y-værdien bliver mindre jo længere x går mod grænseværdien ∞. Man sætter f’(x) = 0, da her er der ingen tangenthældning og da den i det punkt ligger på ”kanten” til at blive positiv eller negativ. Som forklaret ovenover kan man kun bestemme monotoniintervallerne ved at vide hvor tangenthældningen skifter fra voksende til aftagende eller omvendt. Derfor må man, når man har fundet alle de steder hvor f’(x) = 0, tage nogle stik prøver og se om tangenthældningen er positiv eller negativ imellem de punkter hvor f’(x) = 0. Det er nok at tage en stikprøve, da vi har fundet alle de steder hvor f’(x) = 0, så derfor vil intervallet mellem sådan to punkter, hvor f’(x) = 0, være voksende eller aftagende og ikke begge dele, da der så skulle være et punkt imellem, hvor f’(x) = 0 og da vi før antager at vi har alle vandrette tangenter kan det altså ikke passe. Det er også nok at finde der hvor den afledte skifter fortegn, fordi hvis vi ser på en kontinuert funktion f hvor f(a)>0 og f(b)
Bestemmelse af maximum- og minimumsteder og værdierne af f’(x):

Når vi skal bestemme maximum- og minimumsteder, sætter vi f’(x) = 0, da de som navnet siger er toppunkter og at de altså derfor må have en vandret tangenthældning, da den skifter fra aftagende til voksende eller modsat. Når disse x-værdier er fundet, hvor f’(x) = 0, sætter vi x-værdierne ind i funktionen f(x) og ser hvad der giver den største og mindste værdi. Den største værdi er så det y-koordinat maximum kan ligge i og den mindste værdi er så det y-koordinat minimum kan ligge i og da man kender x-værdierne, hvor f’(x) = 0 og man kender definitionsmængden for et lukket interval, kan man indsætte de x-værdier for f’(x) = 0 i funktionen f og ved at undersøge endepunkterne i funktionen f og se hvad der giver maksimum og minimum.
Hvis det er sådan at vi har flere vandrette tangenthældninger tjekker man dem alle og ser, hvilken der giver den mindste og største værdi, plus man undersøger endepunkterne om maksimum og minimum kan være der.
Denne metode virker generelt kun hvis x i funktionen er defineret i et lukket interval. Hvis det ikke er det, men at definitionsmængden for x, i stedet er alle de reelle tal kan vi med denne metode kun finde de lokale ekstremumsteder og ikke maksimum og minimumsteder. Derfor er det vigtigt at sørge for at undersøge endepunkterne i et lukket interval, da der ikke her behøves at være en vandret tangenthældning for at der er et maksimum eller minimumssted.

∞ = uendelig

Anyone else? :) slaæ afleveres imorgen :/


Når jeg tænker over det, så kan maksimum da godt være dem "inde" i dm. så er det bare lokalt maksimum/minimum eller hvad?

1) Der er ingen grund til at gøre en kort historie lang ang. differentiabilitet. Bare skriv noget i retning af

"Antag f er en differentiabel funktion med kontinuert differentialkvotient".

2) "En voksende funktion betyder at y-værdien bliver større jo længere x går mod grænseværdien uendelig..."

Det giver ikke mening. Derimod kan du sige, at en funktion er voksende, hvis

f(x)

for x

3) "Man sætter f’(x) = 0, da her er der ingen tangenthældning og da den i det punkt ligger på ”kanten” til at blive positiv eller negativ."

Det giver heller ikke mening. Der er en tangenthældning, og den er nul.

4) "Som forklaret ovenover kan man kun bestemme monotoniintervallerne ved at vide..."

Nej, det er ikke nødvendigt at kende tangenthældning; det afhænger af problemet. Skriv i stedet

"Som forklaret ovenover kan man bestemme monotoniintervallerne ved at vide..."

5) "Det er nok at tage en stikprøve, da vi har fundet alle de steder hvor f’(x) = 0, så derfor vil intervallet mellem sådan to punkter, hvor f’(x) = 0, være voksende eller aftagende og ikke begge dele, da der så skulle være et punkt imellem, hvor f’(x) = 0 og da vi før antager at vi har alle vandrette tangenter kan det altså ikke passe."

Funktionen (ikke intervallet) er voksende eller aftagende. Indsæt (da f' antages kontinuert) efter f'(x)=0. Ellers udmærket forklaring.

6) "Det er også nok at finde der hvor den afledte skifter fortegn, fordi hvis vi ser på en kontinuert funktion f hvor f(a)>0 og f(b)
Jo... her lugter det lidt af, at du ikke helt forstår det du skriver... "Nok" i forhold til hvad?

7) "og da man kender x-værdierne, hvor f’(x) = 0 og man kender definitionsmængden for et lukket interval, kan man indsætte de x-værdier for f’(x) = 0 i funktionen f og ved at undersøge endepunkterne i funktionen f og se hvad der giver maksimum og minimum. "

Dels er det en gentagelse af de ting, du har skrevet lige ovenover, dels giver ikke mening at skrive "og man kender definitionsmængden for et lukket interval". Intervaller har ikke definitionsmængder, funktioner har definitionsmængder.

8) "Hvis det er sådan at vi har flere vandrette tangenthældninger tjekker man dem alle..."

Igen gentager du dig selv.

9) "definitionsmængden for x, i stedet er alle de reelle tal"

Eller et interval, som ikke er lukket. Eller en forening af intervaller osv.

10) "Derfor er det vigtigt at sørge for at undersøge endepunkterne i et lukket interval, da der ikke her behøves at være en vandret tangenthældning for at der er et maksimum eller minimumssted. "

Ja, men burde du ikke skriv det lidt før??

#14: Ja, det kan maksimum godt. Så er det både lokalt og globalt maksimum.

Arh har først lige set det nu. Prøver at rette det igennem nu og så poste det igen.

Men mange mange gange tak!

2) skal "større eller lig med" ikke vendes eller noget når det er for en aftagende funktion? Eller skal der stå præcis det samme?

5) Efter hvilket f'(x)=0 ? (har prøvet at sætte ind)

6)æhmm skal jeg bare slette det. eller fjerne "nok"??

9) du skriver "osv." men ved ikke hvordan det fortsætter :)

10) Kan godt se at det nok skulle stå lidt før, men kan man ikke også bare sige det er lidt at konkludere.


Håber du lige vil tjekke en ekstra gang x)

Bestemmelse af monotoniforhold ved hjælp af f’(x):

F’(x) fortæller os hvad tangenthældningen er i et givende x-koordinat i den oprindelige funktion f. Hvis f’(1) er lig med -3, er tangenthældningen til den oprindelige funktion f lig med -3.
Antag f er en differentiabel funktion med kontinuert differentialkvotient.
Monotoniforhold fortæller os, i hvilke intervaller en funktion er aftagende eller voksende. For at en funktion må være voksende, må det betyde at tangenthældningen er positiv, dvs. f’(x) skal give et positivt tal. For at en funktion må være aftagende, må det betyde at tangenthældningen er negativt, dvs. f’(x) skal give et negativt tal.
Hvis man så skal bestemme monotoniforholdene må man finde de steder, hvor tangenthældningen skifter fra voksende til aftagende eller aftagende til voksende. En funktion er voksende, hvis f(x)0 og f(b)
Bestemmelse af maximum- og minimumsteder og værdierne af f’(x):

Når vi skal bestemme maximum- og minimumsteder, sætter vi f’(x) = 0, da de som navnet siger er toppunkter og at de altså derfor må have en vandret tangenthældning, da den skifter fra aftagende til voksende eller modsat. Når disse x-værdier er fundet, hvor f’(x) = 0, sætter vi x-værdierne ind i funktionen f(x) og ser hvad der giver den største og mindste værdi. Den største værdi er så det y-koordinat maximum kan ligge i og den mindste værdi er så det y-koordinat minimum kan ligge i og da man kender definitionsmængden, kan man så undersøge endepunkterne i funktionen f og se hvad der giver maksimum og minimum ved at sammenligne med de x-værdier hvor f’(x) = 0 og se på deres funktionsværdi.
Denne metode virker generelt kun hvis x i funktionen er defineret i et lukket interval. Hvis det ikke er det, men at definitionsmængden for x, i stedet er alle de reelle tal, et interval som ikke er lukket, eller en forening af intervaller, kan vi med denne metode kun finde de lokale ekstremumsteder og ikke maksimum og minimumsteder. Derfor er det vigtigt at sørge for at undersøge endepunkterne i et lukket interval, da der ikke her behøves at være en vandret tangenthældning for at der er et maksimum eller minimumssted.

2) Jo.

3) Skriv

(da f' antages kontinuert)

efter "...skulle være et punkt imellem, hvor f’(x) = 0..."

6) Det er nok det nemmeste, klokken taget i betragtning ;)

9) Den kunne være defineret på andet end intervaller.

10) Nej. En konklusion sammenfatter det, du har skrevet. Den præsenterer aldrig noget nyt!

Jeg har kigget det resterende igennem, og fandt kun nedenstående særligt påfaldende. Derudover er der nogle ting og sager hist og her, men det mest alvorlige er vist udryddet; hvis du lige ordner det, jeg kommenterer ovenfor.

"Hvis det ikke er det, men at definitionsmængden for x, i stedet er alle de reelle tal, et interval som ikke er lukket, eller en forening af intervaller"

Hvorfor vil du partout skrive de ting, som definitionsmængden ellers kan være? Det er unødvendigt, slet det og nøjes her med de første 5 ord.