Pejlestang

Det vi skal finde er altså en funktion der fortæller os hvad voluminet er som funktion af højden fra bunden af tanken op til vandoverfladen. Da voluminet her bare er arealet af grundfladen gange højden er problemet at finde en funktion der fortæller tvæarsnitsarelet af vandet, altså arealet af det område på højre tegning der skal forestille vand.

Jeg ville først sige at dette areal er: A = A_cirkeludsnit - A_trekant     Trekanten der tales om er den der dannes når man tegner en linje fra cirklens centrum og ud til der hvor vandkanten mødes med tanken på højre tegning. Vinklen som dannes i toppen af denne trekant kalder jeg for 2V så jeg har to retvinklede trekanter som har en vinkel V.

Vi har at A_cirkeludsnit = 2V(2pi) * pi*r² = V*r²  og A_trekant = halv højde * grundlinje = 0.5 * (r-x) * 2*sin(V)*r 

= (r-x)*r*sin(V)

Yderligere har vi at r - x =r*cosV hvilket giver at V = arccos(1-x/r) og vha. enhedscirklen indser man at sin(arccos(b)) = sqrt(1-b²)

Dvs. A_trekant = r(r-x)*sqrt(2x/r - x²/r²)

Og alt i alt at A = arccos(1-x/r)*r² - r(r-x)*sqrt(2x/r - x²/r²)

Resten er vist ligetil.

Du kan ikke isolere v, når du både har v og sin(v). I vedh fil kan du se en grafisk løsning.

ved brug af integralregning
kan det vises,
at

                                      V = L* r²*[(π/2)+sin^-1(d/r)] + d√(r²-d²)

hvor
V er volumen i dm³ = liter
L er tankens længde i dm
d er væskedybden i dm
r er radius i dm

ved CAS-beregning kan du finde de ønskede dybder

uden enheder

solve(V = L* r^2*((π/2)+sin^-1(d/r))+d*√(r^2-d^2),d)

detaljer i beregning af tværsnitsareal
se
 

detaljer i beregning af tværsnitsareal
se