Overfladeareal af kugle

#0: Han laver et overfladeintegral over kugleoverfladen.

Jeps, jeg er med så langt. Jeg er også med på at han deler kugleoverfladen op i firkanter, som han senere integrerer. Men jeg er IKKE med på, hvordan han finder r*dΦ...

#2: Hvorfor i alverden dele den op i firkanter? Det er jo blot at lave et volumenintegral ved fastholdt radius, som dermed bliver til et overfladeintegral.

A(R) = ∫ dτ = ∫₀^2pi ∫₀^pi R^2 * sin(θ) dθ dφ = 2pi * R^2 * ∫₀^pi sinθ dθ = 4pi * R^2

en infinitesimal vinkel, dφ, lagt om r
er
r*dφ = dφ

Ok, gider I så også at forklare (r*sin(phi))*d(theta)?

Tak.

#5: Tænker du på det her afsnit?

As you can see, the radius of that circle is r*sin(phi). Therefore,
the side of the patch from the d(theta) increment is
(r*sin(phi))*d(theta).

halvcirklen med centrum i (0,0)
x = r*cos(φ)
y = r*sin(φ)   φ € [0;π]
og
db = r*dφ            hvor dφ er en infinitesimal vinkel omkring en radius
.......

ved en drejning på 360° om x-aksen fremkommer en kugle
hvis overflade tænkes klippet op vinkelret på x-aksen i yderst smalle bælter, som
efterfølgende overklippes på tværs i strimler

én sådan strimmels areal er (2*π*y)*db = (2*π*r*sin(φ))*r*dφ = 2πr²*sin(φ)dφ

kuglens samlede overflade er
således

∑2*π*r²*sin(φ)dφ hvis grænseværdi

er

2*π*r²₀^π∫sin(φ)dφ = 2*π*r²[-cos(φ)]₀^π = 2*π*r²*(-cos(π)-(-cos(0)) =

2*π*r²*(-(-1)-(-1)) = 2*π*r²*(1+1) = 4π*r²
 

db er et infinitesimalt buestykke