beviser..

Hvis du kender differentialregning, kan du udnytte, at i toppunktet er differentialkvotienten 0. Vi har et andengradspolynomium med forskrift p(x) = a*x^2 + b*x + c. Differentieres dette, fås p'(x) = 2*a*x + b. Vi har et toppunkt hvis og kun hvis p'(x) = 0. Løses denne ligning for x, fås x = -b/(2*a). Dette er x-koordinaten for toppunktet bestemt ud fra forskriften for andengradspolynomiet.

ja jeg kender godt til differentialregning.. men vi havde om andengradspolynomiumer før vi lærete differentialregning. Det er sq en smart måde du har vist mig det et bevis som det bliver nemere at fordtå og giver mere mening når man indrager differential regning til det. Hvad med y kordinaterne til toppunktet?

vil også lige spørger dig, om det vil være en godkendt måde at lave beviset på hvis man trækker noget der omhandler det til en eksamen?

Til at udlede formelen for rødderne anvender vi kvadratsætningen (e+f)^2 = e^2 + f^2 + 2*e*f. Vi tager igen udgangspunkt i forskriften p(x) = a*x^2 + b*x + c. Jeg ved ikke, om du kan se det, men ud fra ovenstående kvadratsætning, kan vi omskrive til p(x) = ( a^(1/2)*x + b/(4a)^(1/2) )^2 - b^2/(4a) + c, hvor efter vi sætter p(x)=0 og løser for x. Dette kræver selvfølgelig en uddybning.

Kvadratsætningen bruges baglæns. Vi vil gerne reducere til et led af formen (e+f)^2 + en rest. Så hvad skal være første led i parentesen, som når kvadreret giver a*x^2? Det er selvfølgelig a^(1/2)*x. Det er så første led i parentesen. Men hvad skal andet led være? Jo, vi har et x i første led, så vi vil bruge andet led til at frembringe b*x. Så hvad skal N være for at 2*a^(1/2)*x*N = b*x? Løses for N, fås N = b/(2a^(1/2)), så andet led i (e+f)^2 er b/(2a^(1/2)). Sammenlagt har vi nu ( a^(1/2)*x + b/(2a^(1/2)) )^2. Udregnet giver det a*x^2 + b^2/(4a) + b*x. Vi ser, at vi nu har b^2/(4a) for meget. Dette trækker vi derfor fra. Samtidig har vi et c for lidt, som vi så lægger til. Vi har nu omskrevet den oprindelige forskrift til p(x) = ( a^(1/2)*x + b/(2a^(1/2)) )^2 - b^2/(4a) + c.

Resten af udregningerne, dvs. at isolere x, klarer du måske selv? Ellers spørger du igen.

Til #2,

1) Y-koordinaten til toppunktet findes selvfølgelig ved at indsætte x = -b/(2a) i forskriften. Det giver

p(-b/(2a)) = a*(-b/(2a))^2 + b*(-b/(2a)) + c = a*b^2/(4a^2) - b^2/(2a) + c = b^2/(4a) - b^2/(2a) + c = -b^2/4a + c.

Dette genkendes som -d/(4a). Dvs. at toppunktet har koordinaterne (-b/(2a),-d/(4a)), hvor d = b^2 - 4ac.

2) Ja, jeg vil mene, at det er helt i orden. Nu har I været igennem hele pensum, og da differentialregning er en del af pensum, kan det selvfølgelig bruges. På denne måde kan du også demonstrere færdigheder i differentialregning.

har hørt at man kan bruge kvadratsætningen, men forstår ikke helt hvordan du kan få det resultat  ved en omskrivning..?

Nej, jeg ved ikke, om jeg har forklaret det godt nok. Jeg har forsøgt mit bedste, men forstår du det ikke, må jeg prøve igen. Hvad er det præcis du ikke forstår? Er det selve omskrivningen?

det er selve omskrivning jeg ikke forstår hvor du feks for ½ fra?

Nå, a^(1/2) er det samme som "kvadratrod a". Måske det hjælper lidt på læsevenligheden, når du ved det. Jeg antog bare, at du vidste, at "kvadratrod a" også skrives som a^1/2.