Bevis på differentialligning

#0: Brug seperation af de variable.

dy/dx = a*y => dy/y = a*dx

Integreres på begge sider:

LN(y) = ax+k =>

y = e^(ax+k) = C * e^(ax), hvor C = e^k

Det har jeg desværre aldrig lært noget om :(

Går ud fra Trip's bog 3..

#2: Ikke nogen bog jeg kender.

Du kan vise, at y = c * e^(ax) er en løsning ved at indsætte den i differentialligningen og se, at du får det samme på begge sider.

Ja, men tror desværre, jeg skal holde mig til bogen.

#4: Kan du så lige opsummere tankegangen i det bevis?

#4

Man behøver da ikke holde sig til bøgerne, hvis det man laver er rigtigt.

Og desuden er man da ikke uheldig fordi man skal op i mundtlig matematik, man er heldig :D

Det ses at f(x) = C*e^a*x er en løsning til differentialligning y´ = a*y da:

f´(x) = C*a*e^a*x = a*C*e^a*x

hvor: C*e^a*x = f(x) = y

dermed: f´(x) = y´ = dy/dx = a*y

Jeg ved det ikke, det er virkelig underligt..

Man ræsonerer, at funktionen f er en løsning til y' = k*a <=>

f'(x) = k*f(x) <=>

f'(x) = k*f(x) = 0

e^(-k*x)*(f'´(x)-k*(f(x)) = 0*e^(-k*x) <=>

f''(x)*e^(-k*x)-k*e^(-k*x)*f(x) = 0

Så langt var jeg kommet, og så er det, jeg ikke forstod det næste >_<

Ja, det kan jeg jo godt finde ud af, men er, som skrevet, desværre ikke det, jeg skal..

Det ville jeg ikke få ret meget ros for >_<

Tjaeh, jeg synes det den absolut sværeste eksamen, man kan komme op i, men hver sin smag ;)

som jeg forstår det skal du bevise  at såfremt du har diffligningen f´(x)=k*f(x) er løsningen til denne

f(x) =c*e^kx

okey man går udfra at funktionen f er en øsning til diff-ligningen vat følgende går sig gældende :

f´(x)=k*f(x)

næste skridt er at kigge på en såkaldt hjælpefunktion  h(x) = f(x)*e^-kx

denne kan diffes h´(x) = f´(x)*e^-k + f(x)*(-k)*e^-kx

her indsætte f´(x)

vi får :

h´(x) = k*f(x)*e^-kx-k*f(x)*e^-kx =0

da h´(x) er 0 må det være en konstant. vi kan nu betegne denne med c.

vi får : 

h(x) = c (=) 

f(x)*e^-kx =c 

f(x) = c*e^kx  

# 10

Hmm underligt bevis !
 

Ja, er det..

Tak for hjælpen folkens :D, men fandt pludselig ud af det :D

Der er bare brugt differentiationen af to funktioners produkt, og så er det regnet baglæns...

#11

på ingen måde behagligt med på forhånd gennemtænkte hjælpefunktioner - jeg vil give dig helt ret.