Matematik

Ekstrema

02. december 2004 af Miarv (Slettet)

Jeg er blevet lidt i tvivl om følgende opgave:
En funktion er bestemt ved f(x)=(x-1)/(x^2+1).
Bestem den eksakte værdi af hhv. største- og mindsteværdien for f.
Jeg har fået nulpunkterne til f'(x) til x=1+2^0,5 og x=1-2^0,5, men mangler at argumentere for at det er hhv. globalt maksimums- og minimumssted. Det kan jeg ikke helt komme på hvordan jeg gør?
Jeg har prøvet at regne funktionsværdierne eksakt og har fået -0,5(2^0,5-1)^-1 og -0,5(2^0,5+1)^-1, men ved ikke om det kan forkortes til pænere tal?

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2004 af Peden (Slettet)

Du kan finde maximumspunkter for en funktion ved at finde rødderne i den afledte, altså sætte den afledte lig med 0.

Svar #2
02. december 2004 af Miarv (Slettet)

Det er det jeg har gjort, jeg har fået x=1+2^0,5 og x=1-2^0,5. Mit problem er at argumentere for at funktionen ikke går mod uendelig når x går mod +- uendelig. Samt at jeg ikke er sikker på at de funktionsværdier jeg har udregnet ikke kan skrives lettere overskueligt.

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. december 2004 af Peden (Slettet)

x=1+/-kvrod(2) virker da meget godt.

x^2+1 går mod uendeligt hurtigere end x+1, og derved vil hele funktionen gå imod 0 for x gående mod +/- uendeligt.

Svar #4
02. december 2004 af Miarv (Slettet)

Mange tak for hjælpen. Et andet spørgsmål, for funktionen f(x)=x-2sinx, xE[0;2pi], vil man så medtage funktionens 'ender' når man skal bestemme de lokale ekstremumssteder?

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#4: Ja, du må ikke undlade at medtage endepunkterne, når de indgår i definitonsmængden og f er differentiabel i disse punkter. Men du kan ret let se, at de ikke kan være lokale ekstremumssteder, idet

f'(x) = 1-2cos(x)

ikke er 0 for x=0 hhv. x=2*pi.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#5:

definitonsmængden -> definitionsmængden

//Singularity

Svar #7
02. december 2004 af Miarv (Slettet)

Jeg synes min lærer sagde at de godt kunne være lokale ekstremumssteder selv om f'(x) ikke er 0? De er vel hhv. største- og mindsteværdi i et lille interval fra kun den ene side, eller?

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#7: Ja - det er korrekt. I intervalendepunkter kan f godt antage større eller mindre værdier end i de øvrige lokale ekstremer (hvor f'(x)=0). Det kommer an på, hvordan f opfører sig.

Hvis man vil bestemme maksimum og minimum for en kontinuert differentiabel funktion på et lukket og begrænset interval, fx [0;2*pi], så skal man både tjekke f i de (indre) lokale ekstremer (f'(x)=0) og i intervalendepunkterne. Det er formentlig, hvad din lærer mener.

//Singularity

Svar #9
02. december 2004 af Miarv (Slettet)

Ok, så er det vel korrekt at medtage dem som lokale ekstrema?

Brugbart svar (0)

Svar #10
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#9: Ja, generelt set kan det godt forekomme, at endepunkterne er lokale ekstremumssteder.

Men ikke for den pågældende, ellers kontinuert differentiable funktion

f(x) = x - 2sin(x), x E [0;2*pi]

hvor

f'(x) = 1 - 2cos(x), x E [0;2*pi]

Undersøg nemlig fortegnsvariationen for f' og udregn f(0) og f(2*pi). Så vil du konstatere, at hverken f(0) eller f(2*pi) er minimum eller maksimum for f på intervallet [0;2*pi].

Pointen er, at man skal udregne f i de indre ekstremumspunkter OG i intervalendepunkterne. På grundlag af disse værdier må man så afgøre, hvilke af punkterne, der er lokale ekstremumssteder.

//Singularity

Svar #11
02. december 2004 af Miarv (Slettet)

Så lokale ekstremumssteder er ekstremumssteder for hele intervallet der arbejdes med? Jeg synes min lærer sagde at vi kunne vælge dem så små vi ville og derfor kunne endepunkterne godt være lokale, selv om de ikke var globale.

Brugbart svar (0)

Svar #12
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#11: Ja, men det har jeg heller ikke modsagt ovenfor.

Du behøver slet ikke at bekymre dig om globale ekstremumssteder. Din funktion er restriktionen af

f(x) = x-2sin(x) (1)

til intervallet [0;2*pi]. Hvad der sker uden for dette interval er i denne opgave komplet ligegyldigt.

Jeg citerer fra #10 (let redigeret);

"Pointen er, at man skal udregne f i de indre ekstremumspunkter OG i intervalendepunkterne. På grundlag af disse værdier må man så afgøre, hvilke af punkterne, der er ekstremumssteder for f på det pågældende interval"

Dette skal du så bruge på funktionen (1) i intervallet [0;2*pi]. Bemærk i øvrigt, at et indre punkt netop ikke er endepunkterne i et lukket interval.

Er du med på det nu?

//Singularity

Svar #13
02. december 2004 af Miarv (Slettet)

Nej, desværre stadig ikke. Jeg ville mene at man godt kunne have fire lokale ekstremumssteder for funktionen, hvorfor er det at jeg ikke kan det?

Brugbart svar (0)

Svar #14
03. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#13: Prøv nu at bestemme fortegnsvariation for f' og udregn f i de indre, lokale ekstremumspunkter og i endepunkterne. Så vil du konstatere, at jeg har ret.

//Singularity

Svar #15
03. december 2004 af Miarv (Slettet)

Jeg har bestemt de lokale, indre ekstremumspunkter og f for både dem og endepunkterne. Deraf har jeg kunnet konstatere at det er de indre ekstrema der er størsteværdi hhv. mindsteværdi for hele intervallet, men jeg forstår stadig ikke hvorfor endepunkterne ikke kan være lokale ekstremumspunkter?

Brugbart svar (0)

Svar #16
03. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#15: Det er korrekt, at punkterne, hvori f'(x) = 0 giver henholdsvis minimum og maksimum for f på [0;2*pi].

Ekstremum er en fælles betegnelse for maksimum og minimum. Når du nu korrekt har afgjort, at f antager størsteværdi og mindsteværdi i de indre lokale ekstremer, og at endepunkterne ikke opfylder, at f'(x)=0, så kan endepunkterne umuligt være lokale ekstremer.

//Singularity

Svar #17
03. december 2004 af Miarv (Slettet)

Ok, tror jeg forstår hvad du siger nu.
Tusind tak for hjælpen.

Skriv et svar til: Ekstrema

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.