Matematik

Bevis for sinus og cosinus

06. december 2004 af Veeand (Slettet)

Hej hej.

Til min eksamen, vil jeg bevise sinus og cosinus ved brug af enhedscirklen, og specielt vinklerne 30 grader og 60 grader.

Mit spørgsmål er så angående, måden min lærer eksempelvis har bevist vinkel på 30 grader i enhedscirklen.

I stedet for blot at holde den retvinklede trekant i 1. kvadrant, har han også spejlet den i 4. kvadrant.

jeg ville høre, om der er nogle af jer, der har en logisk forklaring på dette?

ville det ikke bare være nok, at fortælle hvordan 30 grader vinkel i 1. koordinat er kommet frem og så slut?

på forhånd mange tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. december 2004 af 404error (Slettet)

Hvis vi tænker på det samme bevis, er det nødvendigt at spejle den i førsteaksen for at kunne afgøre vinklerne i den oprindelige trekant. Spejler du den, får du jo en ligesidet trekant, hvoraf det er let at se, hvad de oprindelige vinkler må være.

En lille kommentar til dit sprogbrug: cosinus og sinus er funktioner, dem kan man ikke bevise. Man kan derimod bevise udsagn. Udsagnene er i dette tilfælde

sin(30 grader)=1/2

samt

cos(30 grader)=sqrt(3)/2.

Svar #2
06. december 2004 af Veeand (Slettet)

Mange tak for rettelsen, jeg havde nemlig også nogle problemer med at skulle formulere netop det bevis.

Vi taler også om det samme bevis, men er du sød lige at forklare nærmere med spejlingen?
Man skal altså gå ud fra at vi ikke kender vinklens grader.
Og derfor spejler vi den, og ser så hvilket?

Og mange tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. december 2004 af 404error (Slettet)

Vi konstruerer først en retvinklet trekant i første kvadrant ud fra punkterne givet ved origo samt et punkt på enhedscirklen og førsteaksen, således at den hinliggende katete i trekanten har længde 1/2. Vi hævder nu, at vinklen mellem førsteaksen (den hosliggende katete) og hypotenusen er 30 grader. Hvis vi kan vise det, kan følger sætningen ved anvendelse af Pythagoras sætning på trekanten (detaljerne kan du selv fylde ind). Spejl nu trekanten i førsteaksen. Så har vi en ligesidet trekant (alle sidelængder er 1), og alle vinkler er derfor 60 grader. Brug nu, at førsteaksen også er vinkelhalveringslinjen for vinklen beliggende i origo. Heraf fås det ønskede resultat.

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#2: En lignende fremgangsmåde kan benyttes til at bestemme

cos(60grader) og sin(60grader)

Lad nu denne gang den oprindelige trekant have HOSliggende katete af længde 1/2 (i stedet for HINliggende katete af længde 1/2) og spejl denne i højden fra hjørnet på enhedscirklen med fodpunkt på x-aksen. Så er den fremkomne trekant ligesidet, og dermed er alle vinklerne 60 grader. Kalder du højden for x, så fås

(1/2)^2 + x^2 = 1 (Pythagoras)

og resten er udregning. Bemærk, at dette sammen med beviset fra #3 viser et eksempel på, at

cos(v) = sin(90-v)
sin(v) = cos(90-v)

Kan du se det?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#4: Der skal naturligvis stå

cos(v) = sin(90grader - v)
sin(v) = cos(90grader - v)

når vinkelmålet for v er grader.

//Singularity

Svar #6
06. december 2004 af Veeand (Slettet)

Ja jeg er helt med.
Jeg havde nok bare brug, for at læse det på skrift, da det nu en gang er nemmere at forholde sig til.

Jeg ville værdsætte det, hvis I lige ville gå i detaljer med Pythagoras' rolle i bevisførelsen?

Svar #7
06. december 2004 af Veeand (Slettet)

#4: når du siger, "resten er udregning", hvad er det så helt præcist du hentyder til?

Jeg ville ellers mene, at bevisførelsen er slut, når vi ender med Pythagoras.

Brugbart svar (0)

Svar #8
06. december 2004 af frodo (Slettet)

tror bare han mener, at du skal udregne dit x.

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#8: Genau :)

#7: Efter at have gjort rede for, at den store trekant er ligesidet, mangler du jo blot at beregne højden x, som er den positive løsning til

(1/2)^2 + x^2 = 1 (1)

(1) er bare idiotformlen - Pythagoras' Læresætning anvendt i enhedscirklen.

Dermed er

cos(60grader) = 1/2
sin(60grader) = x = sqrt(3)/2

//Singularity

Svar #10
06. december 2004 af Veeand (Slettet)

Det er såmænd fordi vi ikke har gennemgået idiot-formlen.

Men x skal vel så bare isoleres, ikke sandt?

Under bevisførelsen, ligger fokus så på at bevise at vinkel er 30 grader, eller på at beregne x?

Det er dét jeg er i tvivl om.

Svar #11
07. december 2004 af Veeand (Slettet)

Nææ hov, nu er jeg vist den som forstår det helt.

Mange tak skal I have

Skriv et svar til: Bevis for sinus og cosinus

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.