Polynomier

Prøv med induktion. Det er mit umiddelbare bud, ikke sikkert at det er rigtigt.

#0 Som #1 siger induktion over graden af polynomiet ... Antag p≠0

Hvis grad(p)=0 så er p konstant og har ingen rødder

Hvis grad(p)=1 så er p(x)=ax+b for passende a og b og x=-b/a er en rod. At der ikke er flere er oplagt (er α₁ og α₂ begge rod i p så er aα₁+b=aα₂+b, dvs α₁=α₂).

Antag nu, at påstanden holder for p af grad(p)=n-1. Skal så, vise det holder for grad(p)=n:

Hvis p ingen rødder har er vi færdige :) Hvis α er rod i p, så er p(x)=(x-α)q(x)  for et polynomium q af grad(q)=n-1. Er β≠α også rod i p så er p(β)=(β-α)q(β)=0, dvs. q(β)=0, hvoraf det per induktionshypotesen gælder at p højst har n-1 rødder forskellig fra α ... hvorfor p højst kan have n rødder DONE :)

^ Dynin, ovenstående gælder for et vilkårligt legeme ikk?

#3 jo ... og rent faktisk også for et vilk. integritetsområde ;)