Primtalsandel

Antageligvis er alle primtal ulige med undtagelse af to, som du nævner, da to går op i alle hele tal.

Vi ved 2 er det eneste lige primtal og der er uendelig mange ulige primtal. Hvad er så

(uendelig - 1) / uendelig ?

(x-1) / x konvergerer i hvert fald mod 1 når x går mod uendelig, men det er nok mere et retorisk svar jeg leder efter.

Kan man sige at 100 % af primtallene er ulige når et enkelt primtal er lige?

Selv ikke brugbare svar er værdsat...

kan man sige det så der er nogen der tror man mener det? (endnu et retorisk spørgsmål :-) Det kan man vel når man er nødt til at kategorisere svarene i det snævre område {brugbart, ikke brugbart, spam}

Kan man sige at 100 % af primtallene er ulige når et enkelt primtal er lige? Nej ... %'er og andele giver ikke mening med tællelige mængder ... 1/∝ er ikke defineret ...

Se dette svar er væsentlig mere brugbart. Dog vil jeg tilføje at %'er og andele giver mening for alle endelige tællelige mængder.

Det vi skal ind på er at %'er og andele ikke giver mening for tællelige uendelige mængder... som fx primtallene, de naturlige tal og de ulige naturlige tal.

Det der er humlen her er mængdernes kardinalitet. Fx kan man ikke umiddelbart sige at halvdelen af de naturlige tal er ulige, selvom det bestemt ser sådan ud. Det kommer an på hvad vi ligger i ordet halvdelen. Det er tydeligt at hvert andet naturlige tal er ulige når vi tæller (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...), så hvis vi med halvdelen mener hver anden har vi ret, men mener vi istedet at 50 % at de naturlige tal er ulige tager vi meget vel fejl.

Når vi siger 50 % af de naturlige tal er ulige kan det nemt oversættes til at der er dobbelt så mange naturlige tal som der er ulige naturlige tal, og det er forkert. De to mængder har samme kardinalitet (aleph-0), hvilket betyder at der eksisterer en bijektiv afbildning fra den ene mængde til den anden, så de er lige store - deres uendelighed er ens.

Så svaret på mit oprindelige spørgsmål kan formuleres således:

Mængden af primtal og mængden af ulige primtal har samme kardinalitet, altså er de lige store, på trods af at den ene mængde unægtelig indeholder 1 element som den anden mængde ikke indeholder.

Kom endelig med tilføjelser hvis du har noget at tilføje til diskussionen.

#4 ja, jeg burde nok have skrevet uendelig istedet for tællelig ... My bad, lang dag på jobbet.

Måden med kardinaltal var også den måde jeg tænkte ... dog kan man tænke mere abstrakt:

Lad ω betegne ordinaltallet for mængden af ulige primtals, da ses let at efterfølgen ω+1 er ordinaltallet for mængden af alle primtal ... dvs. ω<ω+1 ... som med lidt "misbrug" af symboler kan skrives ω/(ω+1)<1 ...

Nu, hvor jeg er i gang ...

<citat>Så svaret på mit oprindelige spørgsmål kan formuleres således: Mængden af primtal og mængden af ulige primtal har samme kardinalitet, altså er de lige store, på trods af at den ene mængde unægtelig indeholder 1 element som den anden mængde ikke indeholder</citat>

som kort kan skrives
card(P)=card(UP) mens ord(P)>ord(UP), hvor P=primtal og UP=ulige primtal
 

Summen af alle primtal^-1 giver uendeligt meget, men summen af alle kvadrattal^-1 giver endeligt meget :-)

Så nu begynder det at blive rigtig sjovt.

Enhver velordnet mængde er ækvivalent med præcis et ordinaltal - og her er det magiske ord "velordnet".

Dvs. ordner vi mængden af primtal på følgende måde

A = { up1, up2, up3, ... } U { 2}

hvor {up1, up2, up3,...} er en velordnet mængde af de ulige primtal... fx sorteret stigende {3, 5, 7, ...}, og elementet 2 i den velordnede mængde { 2 } er "større" end alle ulige primtal, dvs.

A = { up1, up2, up3, ... , 2},

ja så er ordinaltallet tilknyttet A lig med ω + 1 > ω.

Men ordner vi mængden af primtal på en lidt mere oplagt måde

B = { 2, up1, up2, up3, ...}

som jeg vil påstå er den mest normale måde at ordne primtal på, ja så er B en velordnet mængde med ordinaltal ω, og så har mængden af primtal og mængden af ulige primtal lige pludselig både samme kardinalitet og samme ordinaltal.