Differentialligninger

En differentialligning er en ligning, der sammenknytter en ukendt differentiabel funktion og en eller flere af dennes differentialkvotienter. Samtlige funktioner der fuldbyrder denne differentialligning, betitles som løsningen til differentialligningen, og disses graf benævnes integralkurven eller løsningskurven. Lad os se på den simple differentialligning, y' = h(x). Løsninger hertil – idet den løses ved at integrere – er enhver af funktionerne:

y = S(h(x))dx + c, c ∈ R, x ∈ I

hvor h(x) er kontinuert i definitionsintervallet I. c er en arbitrær konstant, og da c er ukendt, er der uendelig mange løsninger. Her snakkes om en hel samling af funktioner, der kaldes den fuldstændige løsning. Når c er kendt, snakker man imidlertid om den partikulære løsning.

Differentialligningen y' = h(x) siges at være af første orden. En differentialligning kaldes af n’te orden, når dens højeste differentierede variable er differentieret n gange, y(n), hvor n ∈ N.

Variableseperation

At separere de variable vil sige, at det er muligt at samle alle udtryk i fx x på den ene side, og alle udtryk i fx y på den anden side. Det kræver en differentialligning hvor y’ er et produkt af to funktioner, y' = F(x,y), hvor den ene kun afhænger af x og den anden kun af y.

Sætning 1. Lad først h være kontinuert i intervallet I, og lad g være kontinuert i intervallet J, således at g(y) ≠ 0, ∀y ∈ J. Det gælder nu, at hvis y er løsning til (i), så er y implicit givet ved (ii).

i) dy/dx = g(y) * h(x)
ii) ∫ 1/g(y) dy = ∫ h(x) dx

Det antages, at y er løsning til ligningen. Betingelsen for at y er en løsning, er at:

dy/dx = g(y) * h(x)

Da g(y) ≠ 0, kan det omskrives til:

1/g(y) dy/dx = h(x)

Nuvel. Nu kan man benytte en fremgangsmåde, som ikke er elegant (thi dy/dx da opfattes som en brøk), men går an som en illustration. Hvis man multiplicerer med dx på begge sider af lighedstegnet har man fået adskilt x og y.

1/(g(y)) dy = h(x) dx

Hvis man herefter skriver et integraltegn på begge sider af lighedstegnet og husker den arbitrære integrationskonstant c, der fremkommer i forbindelse med integration, fås:

∫ 1/g(y) dy = ∫ h(x) dx + c, c ∈ R

At denne metode rent faktisk virker er undladt her, men bevises blandt andet i (I, side 66-67). Hvis man kan bestemme de to ovenstående stamfunktioner, kan man finde løsningen til differentialligningen y' = g(y)h(x), såfremt g(y) og h(x) opfylder forudsætningerne. Bemærk i øvrigt, at denne proces bevilger os, at behandle differentialkvotienten dy/dx som en brøk.

Eksponentiel Vækst

Differentialligningen y' = ky – hvis integralkurve er en eksponentiel vækst – er en hyppigt anvendt differentialligning, når man ønsker at beskrive en eksponentiel proces; for k > 0 kan ligningen fx beskrive udviklingen af en kapital indsat i en bank til en given rente; for k < 0 beskrives fx henfaldet af stråling fra et radioaktivt materiale.

I den eksponentielle vækst, y' = ky, er k en given konstant, der angiver, at størrelsen y ændres med en hastighed proportional med y. Differentialligningen y' = ky er et tilfælde af differentialligningen y' = g(y)h(x), hvor h(x) er k, og g(y)=y. Det skal derved gælde, at g(y), y ≠ 0.

Sætning 2. Hvis en funktion y (y ≠ 0), opfylder, at

dy/dx = ky (iii)

∀x ∈ I, hvor k er en given konstant, så er den fuldstændige løsning:

y = C * ekx

hvor C er en anden konstant.

Bevis. Dette kan bevises ved at separere variablerne i differentialligningen. Som tidligere anført, sættes h(x) ≡ k, x ∈ R og g(y) ≡ y, x ∈ R. Jf. variableseperation fås:

∫ 1/y dx = ∫ k dx + c

En stamfunktion til 1/y er ln|y| og en stamfunktion til k er kx.

ln|y| = kx + c

Ved at eksponentiere på begge sider af lighedstegnet, kan der skrives:

for y>0: y = ekx + c & for y<0: -y = ekx + c

Ifølge en potensregneregel, er ekx + c = ekx*ec. Dermed haves:

for c>0: y = ekx*ec & for c<0: -y = ekx*ec. Lad en reel konstant C (C≠0) være bestemt ved C = ec. Løsningerne til (iii) er således:

y = C*ekx, k,C ∈ R

Af den fuldstændige løsning ses, at enhver løsning er en eksponentialfunktion med undtagelse af det tilfælde, hvor C=0. Endvidere ses ved direkte indsætning, at y = 0 er en løsning, hvormed det ønskede er bevist.

Q.E.D

Kilder
I] Flemming Clausen: Integralregning og differentialligninger. 1. Udgave, 1. Oplag. Munksgaard, 1996