Matematik

Differentialligning

25. august 2009 af Phileo (Slettet) - Niveau: A-niveau

Da jeg ikke umiddelbart er i stand til at se hvordan opgaven løses, håber jeg på noget hjælp!

- Bestem tallet k, så f(x)=5*e^-cos(x)+k er en løsning til differentialligningen dy/dx=y*sin(x).

På forhånd tak! =)

Brugbart svar (1)

Svar #1
25. august 2009 af Daniel TA (Slettet)

Løs differentialligningen ved seperation af de variable.

Brugbart svar (1)

Svar #2
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

#0 bestem f'(x) og indsæt y=f(x) og dy/dx=f'(x) i diff.ligningen og løs for k ;-)

Svar #3
25. august 2009 af Phileo (Slettet)

#2 Kan du uddybe det? Forstår det nemlig ikke helt.

Brugbart svar (1)

Svar #4
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

#3 du ved at f(x) er en løsning ... dermed er f'(x)=f(x)*sin(x) ⇔ (5e^-cos(x)+k)'=(5e^-cos(x)+k)*sin(x) ⇔ ... prøv selv at fortsætte ;-)

Svar #5
25. august 2009 af Phileo (Slettet)

Så benytter jeg kædereglen, men kan det passe (-cos(x))' giver sin(x) ?

(5e^-cos(x)+k)'=(5e^-cos(x)+k)*sin(x) ⇔ 5e^-cos(x)*sin(x) = (5e^-cos(x)+k)*sin(x)

Hvad gør jeg så nu? (forresten tak fordi du gider hjælpe :P)

Brugbart svar (1)

Svar #6
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

#5 ja det er rigtigt ... gang sin(x) ind på højre siden og forkort ligningen

Svar #7
25. august 2009 af Phileo (Slettet)

Kan altså ikke rigtig se hvordan den kan forkortes herfra: 5e^-cos(x)=(5e^-cos(x)+k)*sin(x)²

Brugbart svar (1)

Svar #8
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

#7 5e^-cos(x)*sin(x) = (5e^-cos(x)+k)*sin(x) ⇔ 5e^-cos(x)*sin(x) = 5e^-cos(x)*sin(x)+k*sin(x) ⇔ ... forkort de ens faktorere ... herefter kan du bestemme k

............. af 5e^-cos(x)*sin(x) = (5e^-cos(x)+k)*sin(x) kan du faktisk umiddelbart se hvad k er ;-)

Svar #9
25. august 2009 af Phileo (Slettet)

Kan det passe k er lig 0 ?

Brugbart svar (1)

Svar #10
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

#9 jeps ... som check har du med k=0 at f(x)=5e^-cos(x) og f'(x)=5e^-cos(x)*sin(x)=f(x)*sin(x) ... som netop viser at f(x) opfylder y'=y*sin(x)

Svar #11
25. august 2009 af Phileo (Slettet)

Mange tak^^

Men nu har jeg en anden opgave, hvor jeg skal vise at f(x)=ln(e^x+e-1) er løsning til f'(x)=e^x-y. Så vil jeg gerne lige have respons på om følgende er gjort rigtigt:

f'(x)=1/e^x+e-1=e^x/e^x+e-1

f'(x)=e^x-f(x) ⇔ ln(e^x+e-1)'=e^{x-(ex/ex+e-1)}

Er ovennævnte princip rigtigt? I så fald hvordan reducerer jeg det så? :)

Brugbart svar (1)

Svar #12
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

#11 du behøver ikke at reducere, du har den allerede i første linie ... nævneren er jo = e^f(x) ikk?

Svar #13
25. august 2009 af Phileo (Slettet)

#12 Jamen f(x) hedder jo ln(e^x+e-1) og ikke ligesom nævneren e^x+e-1.. eller tænker du måske på noget andet?

Brugbart svar (1)

Svar #14
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

#13 udnyt at y=e^ln(y)

Svar #15
25. august 2009 af Phileo (Slettet)

#14 Nu er jeg kørt helt af sporet. Hvor får du helt præcist sidstnævnte fra?

Brugbart svar (1)

Svar #16
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

#15 e^x og ln(x) er hinandens inverse ... så e^ln(x)=x

Svar #17
25. august 2009 af Phileo (Slettet)

#17 Hvis de er hinandens inverse, modsætninger hvis man kan kalde det, burde der så ikke hedde y=e-1? Altså sådan at ln(e^x+e-1) bliver til e-1?

Brugbart svar (1)

Svar #18
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

#17 nej ... er g(x)=e^x så er g^-1(x)=ln(x) ... dermed har du

e^x+e-1=e^ln(ex+e-1)=e^f(x) .................... gav det bedre mening?

Svar #19
25. august 2009 af Phileo (Slettet)

Ahh, det tog sin tid, men ja der røg den ind. Men hvis vi så vender tilbage til udgangspunktet får jeg derfor flg.:

(e^x/e^f(x))=e^x-f(x)

Ser det rigtigt ud? Og kan jeg så ud fra det konkludere, at den er en løsning til diff.ligningen?

Brugbart svar (0)

Svar #20
25. august 2009 af Dynin (Slettet)

Ja ... ligningen hed jo y'=e^x-y og med y=f(x) har du vist dette gælder ;-)

... du viser det bare i en lang udregning f'(x)=....=e^x-f(x) og konkludere at y=f(x) er en løsning til y'=e^x-y

Forrige 1 2 Næste

Der er 23 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.