{JF} - Logaritmer

log4(x + 2y) + log4(x - 2y) = 1

(x+2y)(x-2y)=4

x²-4y²=4

#1 Korrekt. :)

Vi bemærker, at

x + 2y > 0 og x - 2y > 0. Så x>2|y|≥0.

På grund af symmetrien kan vi uden tab af generalitet se på tilfældet, når y≥0.

I tilfældet x>0 skal vi blot finde minimum af x -y.

Lad v = x - y og prøv nu at sætte det ind i x² - 4y² = 4. Se hvad der sker, hvis man prøver at løse den med hensyn til y først.

Ingen?

Nå, men vi får 3y² - 2uy + 4(4 - v²) = 0.

Mht. y har vi § = 4v² - 12(4 -v²) ≥ 0.

Så v ≥ √3.

Når x = 4/3 √3 og y = 1/3 √3 har vi v = √3.

Dermed er √3 den mindste værdi af |x| - |y|. 

b)

Bemærk at (5^z · 7^w + 1) er lige, og vi har x ≥ 1.

Tilfælde 1: y = 0. Dermed fås

2^x - 5^z · 7^w = 1.

Hvis z≠0, da er 2^x ≡1 mod 5.

Heraf følger det, at 4 | x.

Da 3 | 2^x - 1.

Hvis z = 0 fås

2^x - 7^w = 1.

Når x = 1,2,3, og hermed har vi, at (x,w) = (1,0) , (3,1) er løsninger.

Når x ≥ 4, 7^w ≡ -1 mod 16. Ved en udregning ser vi, at det ikke kan lade sig gøre.

Når y = 0 er alle ikke-negative heltal løsninger til ligningen

(x,y,z,w) = (1,0,0,0) , (3,0,0,1).

Tilfælde 2: y > 0 og x = 1.

Vi har, at 2 · 3^y - 5^z · 7^w = 1.

Da -5^z · 7^w ≡ 1 mod 3, dvs. (-1)^z ≡ -1 mod 3.

Heraf følger det, at z er ulige.

Da er 2·3^y ≡1 mod 5.

Så y ≡ 1 mod 4.

Når w ≠ 0, har vi at 2·3^y mod7. Så y ≡ 4 mod 6.

Når y = 1 har vi z = 1. Hvis y ≥ 2, da er 5^z ≡ -1 mod 9, hvilket medfører, at

z ≡ 3 mod 6. Da er 5³ + 1 | 5^z + 1, så 7 | 5^z + 1. (Tænk over dette.)

Dermed er den eneste løsning nemlig

(x,y,z,w) = (1,1,1,0)

Tilfælde 3: y > 0 og x ≥ 2.

5^z · 7^w ≡ -1 mod 4, og 5^x · 7^w ≡ -1 mod 3.

Da er z og w ulie. Heraf følger det, at

2^x · 3^y = 5^z · 7^w + 1 ≡ 4 mod 8.

For x=2 og 4 · 3^y - 5^z · 7^w  = 1, hvor z og w er ulige.

Da er 4 · 3^y ≡ 1 mod 5, og 4 · 3^y ≡ 1 mod 7.

Da de ovenstående kongruenser har vi altså, at y≡2 mod 12.

Lad y = 12m + 2, hvor m≥0. Da er

5^z · 7^w = 4 · 3^y - 1 = (2 · 3^6m+1 - 1)(2 · 3^6m+1 + 1).

Da 2 · 3^6m+1 + 1 ≡ 6 · 2^3m + 1 ≡6+1 ≡ 0 mod 7, og

(2 · 3^6m+1 - 1, 2 · 3^6m+1 +1) = 1, så har vi, at

5 | (2 · 3^6m+1 - 1). Dermed gælder

2 · 3^6m+1 - 1 = 5^z , og

2 · 3^6m+1 + 1 = 7^w .

Hvis m≥1 har vi fra ovenstående ligning, at 5^z ≡ -1 mod 9.

Ydermere har vi fra andet tilfælde, at dette er umuligt.

Hvis m = 0, da er y=2, z=1 og w=1. Dermed har vi en entydig løsning

(x,y,z,w) = (2,2,1,1).

Summa summarum har vi

(x,y,z,w) = (1,0,0,0) , (3,0,0,1) , (1,1,1,0) , (2,2,1,1).