Matematik

Sjov Funktionsundersøgelse

04. januar 2005 af Larsk (Slettet)

Hej. Jeg har en funktion:

f(x) = x^2(1-x)^9 , x E [0;1]

Hvordan finder jeg den største værdi for x? Har ingen grafregner. Skal jeg bare prøve på finde et lokalt maksimum i 0;1 eller skal jeg bare sætte forskellige værdier ind, indtil jeg nærmer mig ind på den x-værdi, der giver højeste y. Har efterhånden glemt Newtons smarte metode, men denne kan vel bruges, men hvordan på dette eksempel?

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. januar 2005 af sigmund (Slettet)

Differentier f(x) og sæt f'(x) lig nul. Den er nok ikke så nem at løse med papir og blyant, men du kunne benytte Newton-Raphsons metode til at finde et nulpunkt for f'(x). Med Newton-Raphson skal du først komme med et (begavet) gæt x0. Derefter findes næste punkt som x1=x0-f(x0)/f'(x0). Det næste punkt igen findes som x2=x1-f(x1)/f'(x1). Således fortsætter du, indtil du har lokaliseret roden med tilstrækkelig præcision. Hint: En af rødderne til f'(x) (den søgte rod - prøv og tegn grafen i hånden, så du får en ide om udseendet) ligger mellem x=0 og x=0.5.
Du har vel stadigvæk en almindelig gammeldags regnemaskine.

Svar #2
04. januar 2005 af Larsk (Slettet)

Jamen, jeg tror ikke nødvendigvis jeg skal regne med at finde et maksimum. Jeg skal bare finde den "største" værdi indenfor randbetingelserne. Holder diin metode så stadig?

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. januar 2005 af sigmund (Slettet)

Ja, hvis du tegner grafen, så kan du se, at den har et maksimum mellem x=0 og x=1. I dette maksimumspunkt findes så den største værdi. Den findes jo netop der, hvor f'(x)=0, så ja, min metode holder.

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. januar 2005 af allan_sim

Der er ingen grund til at bruge Newton. Efter at have differentieret korrekt, kan man ved at sætte passende uden for parantes benytte nulreglen.

Differentiation giver:

f'(x) = 2x*(1-x)^9 + x^2*9*(1-x)^8*(-1)
= 2x*(1-x)^8*(1-x) - 9x^2*(1-x)^8
= (1-x)^8*(2x*(1-x)-9x^2)
= (1-x)^8*(2x-11x^2)
= (1-x)^8*x*(2-11x)

Svar #5
05. januar 2005 af Larsk (Slettet)

(for at finde et globalt maksimum i intervallet)

f'(x) = 0 <=>

(1-x)^8*x*(2-11x) <=>

x = 0

V

x = 2/11

V

x = 1

Er dette korrekt?

Og så:

f(0) = 0

f(2/11) = (2/11)^2(1-(2/11))^9 ~ 5,43 * 10^-3 = 0,00543

f(1) = 0

Så svaret lyder (?): Den største værdi for f findes i x-værdien (2/11) for hvilken y-værdien er 0,00543.

Tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. januar 2005 af Duffy

f'(x) = 0 <=>

(1-x)^8*x*(2-11x) <=>

x = 0

V

x = 2/11

V

x = 1

Er dette korrekt? JAH!

Og så:

f(0) = 0

f(2/11) = (2/11)^2(1-(2/11))^9 ~ 5,43 * 10^-3 = 0,00543

f(1) = 0

Så svaret lyder (?): Den største værdi for f findes i x=2/11 for hvilken y-værdien er 0,00543.

DET ER KORRKET!

Tak for hjælpen!

Selv tak!

Duffy

Skriv et svar til: Sjov Funktionsundersøgelse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.