Bevis

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. januar 2005 af Duffy

Det er pære nemt vist vha L'Hôpital's
regel.

Brug den!

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. januar 2005 af 404error (Slettet)

Det er ikke trivielt, hvis du kun har gymnasiemetoder til rådighed. Det er dog ikke svært at give et fornuftigt geometrisk argument for resultatet. Lad os først bemærke, at det er tilstrækkeligt at vise det første resultat, idet

1-cos(x) = sin(x)^2/(1+cos(x)),

hvoraf andet resultat let indses at være en konsekvens af det første.

For at argumentere for det første, tegn en vinkel med radianmål x mellem 0 og pi/2 i enhedscirklen. Det gælder, at

sin(x)

eftersom en ret linie mellem to punkter realiserer den korteste afstand mellem punkterne. Det er et velkendt resultat i Euklidisk geometri. Man må efterfølgende overbevise sig om, at

x

Rimeligheden af dette ses let, hvis du for din vinkel x på passende indtegner trekanter, hvor sidelængder kan tolkes som cos/sin/tan til x - ganske som du sikkert har gjort, da I indførte de trigonometriske funktioner. At bevise det er straks sværere, fordi man på gymnasieniveau ikke opererer med nogen formel definition på buelængde eller de trigonometriske funktioner. Man kan lave tilsvarende heuristiske argumenter a la ovenstående ved at betragte arealer af passende trekanter. Det ændrer ikke på problemstillingen ('beviset' er cirkulært), men er måske lidt nemmere at acceptere. Sig til såfremt du er interesseret i det.

En langt mere tilfredsstillende måde at vise resultatet på involverer en formel definition af cosinus og sinus:

1) Definere sinus vha. en potensrække og udregne grænseværdien. Det er typisk den måde, funktionerne defineres på i videregående matematik.

2) Definere sinus og cosinus som løsninger til differentialligningen

y'' = y

under begyndelsesbetingelserne

y(0)=1, y'(0)=0 for cos

samt

y(0)=0, y'(0)=1 for sin.

Af teorien for lineære differentialligninger eksisterer funktioner, som løser begyndelsesværdiproblemerne. Det er relativt let at indse, at disse også er entydigt bestemt. Så er det ikke svært at vise, at

sin'(x)=cos(x),

og dit resultat følger af L'Hospital's regel anvendt på grænseværdien. Ovenstående definition af cos og sin er knap så udbredt, men meget elegant.

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. januar 2005 af 404error (Slettet)

#1: Nej, man kan ikke umiddelbart bruge L'Hospital's regel. Det giver endnu mere grel cirkularitet, fordi

sin'(x)=cos(x)

netop vises ved at anvende den af spørgeren søgte grænseværdi. Kun hvis man kan vise ovenstående identitet på anden vis - eksempelvis ved mit forslag 2) - er det acceptabelt at bruge L'Hospital's regel.

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

L'Hôpitals Regel kan bruges til at bestemme grænseværdien for udtryk, hvor det ikke umiddelbart er klart, om udtrykket har en grænseværdi.

Eksempel:

sin(x)/x (1)

hvor vi har

sin(x) -> 0 for x -> 0

og

x -> 0 for x -> 0

så vi ser på det, man i matematik kalder et 0/0-udtryk. Idet sin(x) og x er differentiable funktioner, siger L'Hôpitals Regel, at hvis

(sin(x))'/(x)'

har en grænseværdi for x -> 0, så har (1) også en grænseværdi for x -> 0, og
i så fald gælder, at

lim{x->0}(sin(x)/x) = lim{x->0}(sin(x)'/x')

Prøv at bruge dette. På tilsvarende vis kan du håndtere det andet udtryk, du har skrevet i indlægget.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. januar 2005 af 404error (Slettet)

#2: Hov ja, som en lidt sen tilføjelse glemte jeg at fortælle, hvad

sin(x)

skulle lede hen til. Dividér igennem med sin(x) og brug 'sandwich-sætningen' for grænseværdier.

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#2,3: Du går da helt agurk i dag :D Men du har ret i, at såfremt man ønsker et helt stringent argument, og man derfor ikke er villig til ukritisk at bruge

sin'(x) = cos(x)

så er din metode i #2 nok at foretrække.
Spørgsmålet er så, om indlæggeren skulle bevise udtrykkenes grænseværdier helt stringent?

Potensrækker er ikke gymnasiestof, og brugen af disse (især uendelige potensrækker) er som sådan også problematisk uden kendskab til teorien bag. Men definitionen af sinus ved en potensrække er en ganske udmærket måde at bevise, at

sin(x)/x -> 1 for x -> 0

I #2 har du vist glemt et fortegn. Sinus og cosinus er løsninger til differentialligningen

y'' = -y

hvorimod løsninger til differentialligningen

y'' = y

er linearkombinationer af eksponentialfunktioner.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. januar 2005 af 404error (Slettet)

#6: Ja, du har naturligvis ret mht. fortegnet.

Det geometriske argument, som jeg selv var inde på, er standardmetoden til at 'bevise' grænseværdien på gymnasieniveau. Ideen med #2 var også blot at pointere, at argumentet ikke er et bevis (som spørgeren efterspurgte) - det må du som stor tilhænger af præcis formulering kunne bifalde.

At bruge L'Hospital's regel synes jeg er en dårlig idé, fordi bemeldte grænseværdiresultater normalt er optakten til at udregne de afledede af de trigonometriske funktioner på gymnasiet. Så kan jeg personligt bedre acceptere, at man skjuler cirkulariteten lidt bedre f.eks. i form af buelængder eller arealer af cirkeludsnit - det andet er en så åbenlys tautologi, at det blot forvirrer ift. korrekt ræsonnering i matematik.

Jeg er godt klar over, at hverken L'Hospital eller potensrækker er gymnasiestof. Men det er dog den vej, man skal, hvis resultatet skal /be/vises.

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Helt enig.

//Singularity

Svar #9
10. januar 2005 af P3X-018 (Slettet)

Nu har jeg ikke selv internet i øjeblikket, så jeg kan kun skrive fra skolen. Det sidste jeg så fra denne tråd, var svaret fra #1, inden jeg tog hjem i fredags. Nu havde jeg ikke kendskab til L'Hôpital's regel, men jeg fik sat mig ind i det, og havde fået bevist det jeg havde spurgt om i #0. Jeg havde brugt præcis samme metode som Singularity viser i #4, for både
sin(x)/x --> 1 for x --> 0
og
(1-cos(x))/x) --> 0 for x --> 0

Nu kan jeg se at den metode 404error bruger, er også noget man ikke har på gymnasie niveau (potens rækker). Jeg finder nemmere at bevise formlerne vha. L'Hôpital's regel om "0/0".
Men jeg kunne godt være interesseret i at høre mere, om det du (404error
) nævner i #2.

Svar #10
11. januar 2005 af P3X-018 (Slettet)

Ja, ok, det er rigtig nok hvad i siger, at man ikke kan bruge L'Hôpital's regel til at bevise at Dsin x = cos x. Hvilket var formålet med den grænseværdi i #0. Kunne du så uddybe det du (404error) nævner i #2, angående beviset, eller evt. henvise til litteraturer angående stoffet.

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. januar 2005 af Duffy

Det er rigtig nok at man ikke kan bruge L'Hospitals regel
helt bevidstløst, som denne side udmærket illustrerer:

http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html

Men i tilfældet omtalt her er der ingen ko på isen:

lim{x->0}(sin(x)/x) = lim{x->0}(sin(x)'/x') =

= lim{x->0}(cos(x)/1) = [lim{x->0}cos(x)]/1

= 1/1 = 1

NB! LÆg mærke til at jeg stopper med at anvende reglen
allerede efter 2. skridt.
Og at jeg IKKE bruger reglen til at vise
at d(sinx)/dx = cosx. Men kun for at finde
en bestemt grænseværdi.

Kig hellere på nogle rækkeuddviklinger!!!

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #12
11. januar 2005 af 404error (Slettet)

#11: At du ikke bruger L'Hospital til at vise d(sinx)/dx = cosx ændrer ikke på cirkulariteten. Hvis P er udsagnet

P: d(sinx)/dx = cosx

og Q er udsagnet

Q: sin(x)/x -> 1 for x -> 0,

da gælder P <-> Q. Det er nemt at indse. Altså kan man ikke bruge P til at vise Q.

Svar #13
11. januar 2005 af P3X-018 (Slettet)

Så det er "acceptabelt" at bruge L'Hospital til at vise D sinx = cosx.
Men hvorfor rækkeudviklinger?

Brugbart svar (0)

Svar #14
11. januar 2005 af Duffy

Well, problemet er at du ikke i #0 skriver hvad det er du ønsker at vise.

Jeg antager det for kendt at (sin)' = cos.

Og - Nej! Du kan ikke bruge L'Hospitals regel til at vise det med !!

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #15
11. januar 2005 af Duffy

Du kan enten bruge additionsformlerne til at vise at

(sin)' = cos

eller

ved at differentiere sinus-rækken.

Duffy

Svar #16
12. januar 2005 af P3X-018 (Slettet)

Det er netop fra additionsformlerne man kommer frem til grænseværdi udtrykkene jeg skriver i #0, så jeg kan ikke se hvordan det skal kunne hjælpe. Men #12 siger jo at det ikke ændre på cirkulariteten, hvis man anvender andre metoder end L'Hospital's regel. Vil det, hvis man anvende metoden, ved at differentiere sinus-rækken (som jeg ikke har kendskab til). Men det er da noget stof som kræver en del viden før man kan sætte sig ind i, ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #17
13. januar 2005 af 404error (Slettet)

Nej, det ændrer ikke på cirkulariteten, fordi den implicit ligger i den geometriske definition på cosinus og sinus, som anvendes på gymnasieniveau. Definitionen på de trigonometriske funktioner bruger buelængde på enhedscirklen, mens de trigonometriske funktioner i sig selv er nødvendige for at definere denne buelængde. Man kan let omgå problemet ved at anvende andre definitioner på de trigonometriske funktioner, som så kan vises at stemme overens med den geometriske fortolkning. En mulig måde er som forslået vha. potensrækker. Det er ikke vanskeligt, når de rigtige værktøjer er givet - men dog et stykker over gymnasieniveau og ikke særligt intuitivt.

Det er selvfølgelig ikke den slags, du på nogen måde kan forventes at forholde dig til. Derfor er et geometrisk bevis fint. Lad os altså behændigt antage, at vi har givet mening til buelængde på enhedscirklen. Så er det let at vise din grænseværdi geometrisk.

Lad C betegne enhedscirklen med centrum i origo O, lad P være et punkt på C og lad Q betegne projektionen af P på førsteaksen. Antag her at vinkel QOP er mindre end pi/2. Lad da R være punktet (1,0), og lad S være skæringen mellem linien gennem O og P og den lodrette linie gennem R. Så er trekant OPQ indeholdt i cirkeludsnittet fastlagt af O, P og Q, som atter er indeholdt i trekant OSR. Specielt gælder da om arealerne af disse punktmængder

½*cos(x)*sin(x)

dvs.

1/cos(x)

Lad da x->0, idet du bruger 'sandwich-sætningen' for grænseværdier.

Som et addendum til den øvrige diskussion i denne tråd - hvis man insisterer på at antage sin'(x)=cos(x), er L'Hospital's regel faktisk ganske overflødig. Af definitionen på den afledede ses nemlig

lim_(x->0) sin(x)/x = sin'(0)=cos(0)=1.

Matematik

Skriv et svar til: Bevis