Differentialligning

Et land havde i 1980 30 mill. indbyggere, og indbyggertallet aftog, på grund af lavt fødselstal, med 0,2% om året.  Landet modtog hvert år 57.000 indvandrere.

Vis, at hvis t er antallet af år efter 1980 og f(t) indbyggertallet, så er f '(t) = 57.000 -0,002*f(t).

Hvor mange indbyggere var der i landet i 1999?

Hvorledes udvikler indbyggertallet sig i fremtiden, hvis der ikke sker ændringer i de nævnte forudsætninger?
 

_______________________________________________________________________________________

Jeg er klar over, at f ' (t) beskriver den årlige ændring af indbyggertallet

Altså: f ' (t) = 57000 - 0,002 · f(t) 

         f ' ( t ) = tilflyttere - 0,2 % af indbyggertallet

Jeg er dog i tvivlt om hvordan f(t) så vil være?

1) den ene mulighed jeg har er, at den simpelthen blot hedder: f(t) = 30 · 10⁶ · (0,998) ^t

Differentierer vi denne får vi dog ikke den oprindelige f ' (t):

( 30 · 10⁶ · (0,998) ^t ) ' = - 60060,1 · (0,998) ^t

2) den anden mulighed er, at løse differentialligningen på normal vis:

y ' = 57000 - 0,002 · y

⇔y ' + 0,002 · y = 57000

a = 0,002, b = 57000

f(t) = b/a + c ·e ^{-a · t} = 2,85 · 10 ⁷ + c · e ^{- 0,002 · t}

Vi ved at til tiden, t = 0, er der 30 mio. indbyggere:

f(0) = 2,85 · 10 ⁷ + c · e ^{- 0,002 · 0} = 2,85 · 10 ⁷ + c · 1 = 30 · 10⁶

⇔ c = 1,5 · 10 ⁶

f(t) = 2,85 · 10 ⁷ + 1,5 · 10 ⁶ · e ^{-0,002 · t}

Differentierer vi denne får vi dog heller ikke den oprindelige f(t):

( 2,85 · 10 ⁷ + 1,5 · 10 ⁶ · e ^{-0,002 · t} ) '  =   - 3000 · (0,998002) ^t

^.

Da ingen af dem giver den f (t) vi oprindeligt havde, bliver jeg bare i tvivl om hvad jeg har gjort forkert?

På forhånd tak!