Differentialligning

Ja, du har skrevet den på formen e^xdx=e^ydy, så dit resultat er rigtigt. men c bliver e-1

 Gider du forklare lidt dybere?

Det er meningsløst at tale om når c=0 når c er en konstant. Enten er den 0 eller også er den ikke. Hvis y=ln(e^x+c) vil du for c = 0 få y=ln(e^x) = x altså en lineær funktion af x

Ja det var også hvad jeg tænkte. Men er der andre måder at finde en liniær, hvor c ikke er = 0 ?

ja til en start ligner din ligning en af typen P(x,y)dy + Q(x,y)dy = 0, for at kunne løse den type ligninger, så skal man fiinde en integrationsfaktor, fordi ligningen ikke er eksakt, men kan gøres eksakt (det er noget, jeg husker, så ret mig, hvis jeg tager fejl en eller anden). Løsningen er jo u(x,y)=c, fordi vi ved at differentiere u får du=(∂u/dx)dx + (∂u/dy)dy. Når nu vi sammenligner med ligningen i første linie, så er ∂u/dx : ∂u/dy = P:Q = (F*P)/F*Q), hvor F er integrationsfaktoren (hvoraf der er uendelig mange), så vi skal have ∂u/∂x = F*P og ∂u/∂y = F*Q.

du har 1=ln(1+c)<=> e = 1+c <=> c = e-1

Jeg synes ikke selv det er nemt at finde integrationsfaktoren, for eksempel, hvis xdy-ydx=0, så at se at d(x/y) =

(ydx-xdy) / y², så vi her får både 1/y², 1/xy og 1/(x²+y²) er integrationsfaktorer, fordi x/y = c ln(y/x) = c og arctg(y/x) = c grundlæggende er de samme løsninger

#4 Hvis c≠0 er ln(e^x+c) ikke en lineær funktion, så c=0 er den eneste løsning.

#5 Ligningener faktisk løst korrekt i #0.

  Så det er faktist på denne måde det bliver udregnet:

y = ln(e^x+c) gennem (0,1)

1 = ln(1+c)

e¹ = e^ln(1+c)

e = 1 + c

-c = 1 - e

c = e -1

y = ln(e^x+e-1)

Og den lineære bliver udregnet sådan her:

For at få en løsningskurve som er lineær, so må c = 0. Dette er fordi y = ln(e^x+o) <=> y = x

y = ln(e^x+c) gennem (1,1)

1 = ln(e¹+c)

e¹ = e^ln(e+c)

e = e+c

c = e-e

c = 0

y = ln(e^x+0) <=> y = x

disse er vel begge korrekte!

I den lineære del har jeg valgt at sagt: y = ln(e^x+c) gennem (1,1). Jeg har faktist kun sagt dette fordi at jeg kunne se at dette ville give c = 0. Men er der nogen matematisk måde jeg kan finde ud af hvad y = ln(e^x+c) skal gå igennem for at c skal blive fx. 3 =

Du kan ikke bare sige at løsningen skal gå gennem (1,1) hvis det ikke er en betingelse. Jeg tror ikke opgavestilleren har tænkt at du skulle gøre mere end at konstatere at for c = 0 bliver det en lineær funktion. Her er et bevis for at løsningen kun er en lineær for c=0.

For en lineær funktion skal der gælde f(a*x₁+b*x₂) = a*f(x₁) + b*f(x₂) vælger du x₁=x₂ = 0 får du at  f(a*x₁) =f(b*x₂) = f(0) = ln(1+c). hvis f er lineær skulle dette give at for alle a, b, f(a*0+b*0) = f(0) = ln(1+c) = a*ln(1+c)+b*ln(1+c)= (a+b)*ln(1+c) altså for alle a og b skal der gælde (a+b)*ln(1+c) = ln(1+c) Dette er kun opfyldt for ln(1+c) = 0 <-> c=0

Super. Tak for hjælpen :)