Planens ligning i rummet

planens ligning gennem et punkt P₀ = (x₀,y₀,z₀) med normal vektor n = (a b c) bestemmes som

ax + by +cz +d = 0

hvor d bestemmes ved indsættelse af P₀

d = -ax₀ -by₀-cz₀

Ligningen for planen bliver herved

2z + 2 = 0 eller z = 1

Du kan overbevise dig om det ved at forestille dig, at dette udgør xy-planen beliggende i højden 1 på z-aksen, hvor n, der der er normal vektor ses at svare til retningen på z-aksen.

 Tusind tak for hjælpen, det hjalp mig meget med hvad jeg var i tvivl om:)

har dog lige en ting til: 

når jeg skal bestemme planens ligning og ved at planen går gennem punkterne A(-2,3,2) B(1,2,1) og C(4, -5 , 2): 

Planen indeholder punkterne AB vektor og AC vektor, og som normal vektor for planen kan vi benytte krydsproduktet af AB vektoer og AC vektor: 

AB vektor = 3 -1 -1 

AC vektor = 6  -8  0 

Krydsproduktet = - 8  -6  -18 

Planens ligning: 

-8x - 6y -18z + d = 0

Mit problem er nu hvordan jeg finder d ? kender jo ikke et punkt P0 ?? 

Nej ikke et' punkt, men du har faktisk tre punkter at vælge imellem A, B og C der alle ligger i planen. Du kan bare bruge et af dem. Mon ikke de derfor giver samme løsning for d ;-) ......

du kan efter behag benytte
enten
A, B eller C som fikspunkt

og her foretrækkes vel B, som er helt uden minus-tegn (som så ikke skal huskeskrives)

Krydsproduktet = - 8 -6 -18 erstattes af [8,6,18] som er den modsatte vektor (uden alle de minus'er)

Planens ligning:

[8,6,18]·[x-1,y-2,z-1] = 0
eller
                 8x + 15y + 9z + (-47) = 0
 

 Okay, nu er jeg mere med... 

Men hvorfor bliver det 15 y og 9 z? og hvorfor bliver d = - 47?

8(x-1) + 6(y-2) + 18(z- 1) = 0

8x + 6y + 18z + 22 = 0       det ville jeg sige blev planens ligning?? 

sorry
tastfejl
                 8x + 6y + 18z + (-38) = 0

Punktet C ligger ikke i planen #4. Brug istedet ligningen du selv har fundet eller ligningen bestemt ved normalvektor uden minus'er [8, 6, 18], hvilket giver den ligning du selv har bestemt med modsat fortegn:

8x +6y +18z -38 = 0

Jeg er med nu, har bare regnet d helt forkert, men får det os til -38 nu :)

Tusind tak for hjælpen:)