Bevis for y'+ay=g(x)

(1) y’+ay=g(x)
Ganges (1) igennem med e^ax>0 haves
(2) e^ax y’+a e^ax y= e^ax g(x)
der jo har de samme løsninger som (1). Venstre siden af (2) ses (ved produktreglen) at være (e^axy)’ således haves
(3) (e^axy)’= e^ax g(x)
der netop viser at e^axy er en stamfunktion til e^ax g(x), dvs.
(4) e^axy= ∫ e^ax g(x)dx+C
Omskrevet haves således
(5) y= e^-ax∫ e^ax g(x)+K 
 

Nu er der jo ikke et bevis i den forstand, i virkeligheden gætter man en løsning. I et tilfælde finder man en integrationsfaktor F(x) og viser, at hvis den ksisterer å må F(x)(fy-r)dx +F(x)dy = 0 være eksakt. Så er der parametervariationløsningen y(x)=u(x)*v(x), men her gætter man igen på baggrund af noget viden man har i det første tilfælde, nemlig at v(x)=exp(-∫f(x)dx, så der er altså i virkeligheden tale om gætværk, hvor exponentialfunktionen spiller en betydelig rolle i løsningen. Du ser også, at Dynin ganger igennem med exp(ax) uden at redegøre hvorfor, og det er der en god grund til. Så du må altså give dig tilfreds med den erfaring, man har samlet omkring emnet.

der er naturligvis et bevis

se

Jeg må fastholde, at der ikke findes et bevis, den integrationsfaktor, der ganges med, er et rent gæt - det beviser ikke noget.

#4
integrationsfaktoren kan bruges hver gang
og
så kan du jo klamre dig til, hvad du finder for godt.
 

#3 Du mangler integrationskonstanten, samt en forklaring af hvorfor den oprindelige ligning og den multiplicerede ligning har samme løsning.

#4 Man har lov til at gange differentialligningen igennem med en integrationsfaktor; her er e^ax et godt valg (eller gæt om du vil), da faktoren ikke bliver 0 og betragtet som funktion er kontinuert (og dermed integrabel) ... *og* fordi man, ved produktreglen for diff., får en let omskrivning af ligningen. Læser du mit og mathon’s bevis [som er identiske] nærmere efter i sømmene, kan du tydeligt se at de føres på prik som man beviser panserformlen.
For ligninger af ovenstående type omskriver man gerne løsningen y=e^-ax•∫g(x)e^axdx+Ce^-ax til y=y₀(x)+Ce^-ax, hvor det erfaringsmæssigt har vist sig at y₀(x) kan bestemmes ved at gætte på en funktion ”magen til” g(x); fx. er g(x) et pol så er y₀(x) ligeledes et pol af samme grad som g(x).
 

MAnner det bliver en god SRP kan jeg mærke :-P

takker til jer alle for de dejlige bud :-)

PS: I har alle fået brugerpoint (eller hvad det nu hedder)