Differentialligning

matematiske del:
                          hvordan løses
                                               y’’ + ay’ + by = 0

                          (herunder bl.a. den karakteristiske 2.gradsligning)

fysiske del:        ligningens anvendelse
                           til beskrivelse af
                                               en dæmpet harmonisk svingning

Det er fordi den simple harmoniske bevægelse kan beskrives matematisk ved ligningen y '' + ω²y = 0, det er den ligning, der bekriver en masse, når den vibrerer i en elastisk indretning, Hvis der for eksempel er luftmodstand, så ser den sådan ud ay'' + by' +cy = 0. Massen vil dog stadig vibrere, hvis modstanden ikke er for stor, altså (b²<4ac, men amplituden vil derimod aftage eksponentielt med tiden. Indenfor elektronikken støder u ogsp på den. Man startter med at gætte en løsning, og antagerm, at den kan skrives på formen y = e^r*t, den substituerer man ind i ligningen. Prøv det og se, hvad der sker!!

Du skal undersøge netop den ligning, fordi der er tre tilfælde at kigge på, 1) D>0, 2) D=0 og 3) D<0. Alt afhængig havd diskriminanten (det er den såkaldt karakteristiske ligning, jeg taler om, og som du vil opdage, når du gør det, jeg skrev) er, så er der forskellige løsninger. Mere er der egentlig ikke at sige om det, sålænge koeffecienterne er konstanter.

Jeg har gættet en løsning til formlen: e^(-x/a)*sin(x), i stedet for den du gav: e^(r*t), da det igen var en som min lærer gav mig til vejledningen. Altså jeg har fundet hvor y''+ay'+by er lig med 0. Nemlig: y''+2y'+2y=0. hvad var det du mente med, at man skal kigge på 3 tilfælde, i forhold til diskriminanten, når jeg har gættet løsningen?

Hertil skal det siges at: y=e^(-x/a)*sin(x), og y'=(cos(x)-sin(x))*e^-x  og y''= -2*cos(x)*e^-x

Hvis konstanten a = 2 og b = 2 så bliver y''+ay'+by= 0

når du indsætter din lærers anviste
løsning e^r·t i y’’ + ay’ + by = 0

får du              r²·e^rt + a·r·e^rt + b·e^rt = 0                som ved division med e^rt>0 giver

                      r² + a·r + b = 0                                som kaldes den karakteristiske 2.gradsligning

hvis diskriminant-fortegnsmuligheder giver de efterspurgte 3 tilfælde

når d>0

udspændes løsningensmængden til z''(-1/4)dz=0 af funktionerne e^±(1/2)√dx, hvorfor løsningsmængden til y''+ay'+by=0 udspændes af

e^-1/2axe^±(1/2)√dx=e^{(-1/2a±1/2√d)x} osv...