Matematik
Differentialligning
For m∈N0 betragtes Bessel’s ligning (det m’te Bessel egenværdiproblem)
-(xu’)’+(m2/x)u=λxu for x∈]0,1[
u(1)=0
u begrænset for x→0
Normalt ville man jo ved verifikation se at
u1(x)=1 v1(x)=logx for m=0
u1(x)=xm v2(x)=x-m for m>0
er to lineært uafhængige løsninger og regne vidre.
Men det skal jeg ikke :( Jeg skal bruge substitutionen t=(√λ)x og finde frem til løsningen
Jm(t)=∑k=0∝ [(-1)k(½t)m+2k]/[k!(m+k)!]
kaldet den m’te Bessel funktion (af første grad)
Nogen der kan hjælpe?
Svar #1
10. december 2009 af Dynin (Slettet)
#0 Hmmm oki … et singulært Sturm-Liouville problem … det kan næppe være SRP …
med t=(√λ)x omskrives problemet til
-(tv’)’+(m2/t)v=tv for t∈]0,√λ[
v(√λ)=0
v begrænset for t → 0
hvor v(t)=u(t/√λ). Løsningerne til den første linie kan findes ved at bruges Frobenius’s metode [jeg antager du kender den?] da haves
som indsat i differentialligningen giver ved ledvis diff. og under antagelse at v er en løsning
Hvoraf man slutter
r2-m2=0
a1=0
((r+n)2-m2)an+an-2=0 for n≥2
En klassisk normalisering [der her skal bruges] er at vælge a0=2-m/m!. Idet a2k-1=0 for k∈N, og
Du må selv lave mellemregninger … ved kvotientkriteriet ses, at rækken (løsningen)
har konvergensradius uendelig, dvs. Jm er hel og løser differentialligningen på hele R.
Svar #3
10. december 2009 af HiEv (Slettet)
Hey Dynin
Frobenius’s metode, hvad er det nu den går ud på?
BTW mange tak for hjælpen :-)
Svar #4
10. december 2009 af Dynin (Slettet)
#3 man antager at v(t) er formen trw(t) for en passende holomorf funktion w og et helt talt r, samt bruger differentialligningen til at bestemme koefficienterne i Taylorrækken for w ved 0
Skriv et svar til: Differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.