Matematik

Vektorproblem

25. januar 2005 af Jonas_h (Slettet)

Jeg har fået denne opgave, og har sådan set også løst den ved at opskrive distanceformlen som en funktion af t og derved finde minimum... Men denne løsning er ikke særlig elegant, så ville høre om I kunne hjælpe mig med, hvordan den kan laves "på vektor-måde".
Man skal jo nok tvinge et prikprodukt mellem to vektorer til at blive 0, men kan ikke helt se hvilke osv.

På forhånd tak :)

Opgaven er her: http://www.clickweb.dk/Mat.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

Jeg kan ikke umiddelbart se, at der skulle være en nemmere metode, hvortil det skalare produkt kan anvendes.

Prøv at skrive din metode ned herinde.

//Singularity

Svar #2
25. januar 2005 af Jonas_h (Slettet)

Jamen min metode er bare, at skrive punktet P og linjen ind i distanceformlen. Og så finde minimum vha monotoni forhold.

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: Det virker da meget fornuftigt. Den metode holder du bare fast i :-)

Når man kommer til distanceformlen, ville det nok være på sin plads, at man kort argumenterede for, at funktionen

7 + 2*cos(t) - 4*sin(t)

er positiv, så man uden videre kan hæve numerisktegnet og opsøge minimum for denne funktion.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. januar 2005 af 404error (Slettet)

En anden måske mere oplagt løsningsmetode er at bemærke, at

r(t) = a+2*b, t \\in [0,2*Pi)

er en parametrisering af cirklen med radius 2 og centrum i a. Hvis l betegner linien

l: y = ½*x+6,

så realiserer længden af liniestykket m fra a vinkelret på l minimumsafstanden fra a til l. Heraf må afstanden fra linien til cirklen være mindst for det punkt på cirklen, som er skæringspunktet mellem m og cirklen. Overvej, at du kan finde dette punkt som r(t) med t den ene af løsningerne til

b * r_l = 0, t \\in [0,2*Pi)

hvor r_l er en retningsvektor for linien l.

Svar #5
25. januar 2005 af Jonas_h (Slettet)

404error: Det er præcis den metode jeg ledte efter :)
HMm, men bliver ret forvirret af det. hvad mener du helt præcist med en parametrisering af cirklen med radius 2.... osv. Hvordan ved man helt præcist det?

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. januar 2005 af 404error (Slettet)

Tjek definitionen. Hvis min påstand er sand, skal der for alle t \\in [0,2*Pi) gælde

|r(t)-a|=2.

Svar #7
25. januar 2005 af Jonas_h (Slettet)

Ja jeg får det rigtige resultat hvis jeg prikker vektor b og retningsvektor for l. Og kan godt følge det med cirklen. Men er stadig lidt i tvivl om, hvordan jkeg kommer frem til: b*r_l = 0. Man skulle jo bruge punktet P?

Svar #8
25. januar 2005 af Jonas_h (Slettet)

Ahhh, det er egentligt bare "teori" du har skrevet inden du kommer frem? Man behøver vel ikke finde den linje m du snakker om, når det jo bare er repræsentanter af vektorer vi snakker om?

Brugbart svar (0)

Svar #9
25. januar 2005 af 404error (Slettet)

Det er ikke nødvendigt, nej. Jeg gav bare en redegørelse for, at du ved den metode faktisk finder det t, så afstanden fra r(t) til linien er mindst mulig.

Svar #10
25. januar 2005 af Jonas_h (Slettet)

Kan jeg også godt se nu :) Det er en lidt "finere" metode end dist-formlen synes jeg.
Mange tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #11
25. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Husk, at en parametrisering af en cirkel med centrum (0,0) og radius r er

rb = r(cos t, sin t), r > 0

Derfor er

OP_t - a = 2b = 2(cos t, sin t)

en parametrisering af en cirkel med radius r=2 og centrum (0,0), så

OP_t = a + 2b

er blot en translation af cirklen langs a.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #12
25. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

Hehe...jeg burde vist opdatere lidt oftere :-)

//Singularity

Skriv et svar til: Vektorproblem

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.