symmetrisk random walk

#0 Lidt hurtigt regnet ... Var(S_n)=Cov(∑_iY_i,∑_jY_j)=∑_i∑_jCov(Y_i,Y_j)=∑_i1=n

Alternativt ... da Y_i er iid stok var. er Var(S_n)=Var(Y₁)+...+Var(Y_n)=nVar(Y₁), hvor Var(Y₁)=E(Y₁²)-E(Y₁)²=E(Y₁²)=1 da jo Y₁²Ξ1

mange tak! har lige et spm mere

Man vælger nu – i stedet for tidsintervaller på 1 – intervaller på (delta)t=1/N, hvor N er et heltal. Nu sættes

W_k(delta)t^(N)=a_NS_k, hvor a_N er en konstant som vælges således at Var(W₁)=1.
 

Da Var(S_N)=N må a_N vælges så a_N=N^-½, hvormed at man i hvert tidsinterval af længden (delta)t=1/N tager et skridt af længden N^-½=(delta)t^½.

hvordan viser man at a_N=N^-½ samt at man i hvert tidsinterval af længden (delta)t=1/N tager et skridt af længden N^-½=(delta)t^½?

#3 er dette ikke ret oplagt da Var(aX)=a²Var(X) og Y_i er iid ?

ahh jo selvfølgelig!! tak ska du ha!

jeg er fortsat min redegørelse for brownsk bevægelse som grænseproces for en symmetrisk random walk men er gået i stå igen..

Når N→∞ går den diskrete approksimation mod en stokastisk proces med både kontinuert tid og kontinuert tilstandsrum, altså en Brownsk bevægelse. For k=N;
W₁^(N)=S_N/√N,
som ifølge den centrale grænseværdisætning går mod en normalfordeling med E(W₁)=0 og Var(W₁)=1.
håber ovenstående er rigtigt?

Her mit nye spm: Nu for k=t/[(delta)t];

W_t^(N)=S_t/[(delta)t]/√N, hvad fortæller den centrale grænseværdisætning om fordelingen af W_t^(N) mht. middelværdi og varians?

#6 er t et helt tal så har du

W_t^(N)=S_t/Δt/√N=S_tN/√N=(√t)*S_tN/√(tN) der for ethvert N har middelværdi 0 og varians t og den centrale grænsevædisætning (DCG) giver således at W_t^(N)→N(0,t).

Er t ikke hel bruger man standard tricket med mase kvotienten ind mellem heltal ... dvs. er t ikke hel er tN ikke hel og du kan ikke bruge (DCG) på S_tN/√(tN) og opstiller hermed uligheden

Her kan (DCG) bruges på venstre og højre siden af uligheden og ovenstående viser at disse begge går mod en normalfordeling med middelværdi 0 og varians t og man slutter dermed at W_t^(N)→N(0,t).