stamfunktioner

F(x)=3x*ln(x)-7x+4

Kunne være en anden. Det er blot en vilkårlig konstant, der er tillagt.

f(x) = ∫(3ln(x) - 4)dx = 3(xln(x) - x) - 4x + k = 3xln(x) - 3x - 4x + k =

         3x·ln(x) - 7x + k   k∈R

Tak,

hvad så med denne opgave,

angiv, uden brug af cas, samtlige stamfunktioner ved følgende:

f(x)=-4

f(x)=2+1/x , x>0

f(x)=-4

F(x)=-4x+c

og

f(x)=2+1/x

F(x)=2x+ln(x)+c

hvor kommer c fra? og er der kun 1 til dem hver?

f(x)=x^2+2x+2

Når du differentierer en funktion, forsvinder konstanterne:

f'(x)=2x+2

Så når du skal finde en stamfunktion til en funktion, er det naturligvis ikke rigtigt blot at skrive:

f(x)=∫2x+2dx=x^2+2x

Da du jo så mangler din konstant. Da vi ikke ved, hvor stor konstanten er, lægger vi bare en vilkårlig konstant til. Du må kalde den, hvad du vil. Jeg har kaldt den c, andre kalder den k, men du må også kalde den δ eller ξ, hvis du vil. Faktisk er der frit valg på alle hylder. Hovedsagen er, at du husker, at der skal tillægges en konstant.

Du får da:

f(x)=∫2x+2dx=x^2+2x+c

Som er den generelle stamfunktion og således et udtryk for samtlige stamfunktioner til den afledede f'(x)=2x+2. Vil du have en specifik stamfunktion, skal du bruge et punkt, som du kan indsætte i stamfunktionen og beregne c med. c's størrelse afgør, hvor højt funktionens graf ligger oppe af 2. aksen. Dette er selvfølgelig klart, for når du tillægger en positiv konstant, må f(x) jo blive større, og grafen blive forskudt opad. Hvis du prøver at tegne en funktion ind på din lommeregner og kun bytte c-værdien vil du se, at grafen bugter sig præcis ens, men den ligger lidt højere og lavere i diagrammet alt efter din c-værdi.

Den specifikke funktion jeg skrev i starten, kan vi også finde. Nu ved jeg tilfældigvis, at den går igennem punktet (-1;1), så det prøver vi bare at indsætte i vores generelle stamfunktion:

f(x)=x^2+2x+c

1=(-1)^2+2*(-1)+c => 1=1-2+c => 1=-1+c => c=2

Stamfunktionen der går igennem punktet (-1;1) er altså:

f(x)=x^2+2x+2

Som netop var den vi startede med.

Derfor har du altså helt konkret fundet samtlige stamfunktioner ved at tillægge en generel konstant. 

f(x)=∫2x+2dx=x^2+2x

er i øvrigt en stamfunktion, men det er stamfunktionen med c=0 og således kun én stamfunktion ud af uendeligt mange. Den kan du ikke nøjes med, når du bliver bedt om at finde samtlige.

Håber det hjalp på forståelsen! Ellers må du spørge igen.

Hold da op, jeg er meget taknemlig, det blev lige forklaret så pædagogisk, at jeg forstod det :P

Det lyder godt. Du får nok mange opgaver, hvor det kan være brugbart at kende til, så det er perfekt, at du har forstået det.