Haster

Til det første kan du opstille en funktion hvis graf viser et tværsnit af bassinets bund.
Da du ved det er parabelformet, er det et andengradspolynomie, dvs. f(x) = ax^2 + bx + c.  hvor x angiver antal meter du går ud i bassinet i lige linje. Altså er intervallet for funktion [0;20] da bassinet er 20 m bredt.

Du ved yderligere at funktionen har toppunkt i -3 (dvs. 3 meter under vandoverfladen)
Da parabler er symetriske har du da at:

f(20/2) = -2
f(10) = -2

Da c er skæringspunkt med y-aksen, som betegner dybden under vandoverfladen, har vi at:

f(0) = a*0^2 + b*0 + c = -1  <->  c = -1
 

Vi har nu to punkter:

f(20) = a*20^2 + b * 20 -1 = -1  <-> a*20^2 + b*20 = 0
f(10) = a*10^2 + b * 10  -1 = -2   <->   a*10^2 + b*10 + 1 = 0

400a + 20b = 0   <-> b = -400a/20 = -20a
100a + 10(20a) +1 = 0   <->   100a + 200a + 1 = 0   <->  a = 1/300

b = -400(1/300)/20 = -400/300/20 = 4/3/20 = -1/15

dvs. f(x) = 1/300*x^2 -1/15*b -2

Nu kan du fx. indsætte de 2 m der gåes ud, dvs. x = 2:
f(2) = ?

og du kan finde ud af hvor langt man skal gå ud før der er 1,60 m dybt:
f(x) = 1,6  <->  x = ?

 




 

Hov, og så var der to opgaver...

Dit torvs længde kalder vi L.

Vi har da at
L = 4a + 2 * pi * r
hvor a er kvadratets sidelængde og r er cirklens radius.
Da der er en variabel for meget i funktionen skal den ene skrives som udtryk af den anden:
20 = 4a + 2 * pi * r <-> a = (20 - 2 * pi * r)/4 = 5 - (1/2 * pi * r)

Du skal nu opskrive en funktion for de to arealer:

A = a^2 + pi * r^2
A =( 5 - (1/2 * pi * r))^2 + pi * r^2 = 64,8 * x^2

Her har du altså en parabel som er aftagende - voksende, dvs. har et globalt minimum. Dette skal du finde hvis du vil finde det minimale areal, og det gør du ved at differentiere funktionen og sætte f'(x) = 0