differentialligning

Brug et CAS værktøj

hvordan? forklaring?

mener du:

desolve(y'=e^x+3y and y(1)=1,x,y)

Jeg kender ikke dit CAS værktøj, så jeg kan ikke sige om det er rigtigt. Det forekommer ikke rigtig at du skriver y(1) =1. Hvis tangenten i (1,f(1)) skal have hældningen 1, må du sætte det ind i differentialligningen. Det giver 1-3y=e

Da tangenten i (1, f(1)) skal have hældningen 1, gælder der

1 = e¹ + 3f(1), dvs.

f(1) = (1-e)/3.

Man kan også løse differentialligningen manuelt. Vi har

dy/dx - 3y = e^x .

Den homogene ligning

dy/dx = 3y

har som en løsning funktionen

y = e^3x

Inspireret af dette sætter vi z(x) = y(x)e^-3x ind i den oprindelige differentialligning og får

dy/dx = dz/dx e^3x +3z e^3x = 3y + e^x = 3z e^3x + e^x , og dermed

dz/dx = e^-2x , der har løsningen

z(x) = -1/2 e^-2x + c, og dermed

y(x) = e^3x z(x) = c e^3x - 1/2 e^x ,

hvor c er en integrationskonstant, som vi nu vil fastlægge så tangentbetingelsen fra før bliver opfyldt, altså så

y(1) = (1-e)/3 .

Dette giver

(1-e)/3 = c e³ - 1/2 e , eller

c = 1/3 e^-3 + 1/6 e^-2 = 0,039152 .

Løsningen, der opfylder tangentbetingelsen, er da

y(x) = (1/3 e^-3 + 1/6 e^-2 ) e^3x - 1/2 e^x