Induktion

Det er her!!


Hvis du kigger på det n'te led, altså

1/(n(n+1)) så står det på n'te plads i summen (den række led du har skrevet op)

Dvs at der er n led af denne type - altså

n*1/(n(n+1)) = n/n+1 , qed.


Duffy

Når man skal vise noget ved induktion, skal man vise to ting:

1) PÅstanden gælder i basis (typisk for n=1).

2) Hvis vi antager, at påstanden gælder for n, så viser vi, at den også gælder for n+1.

Kombinationen af de to punkter sikrer dig, at påstanden gælder for alle naturlige tal, idet 1) sikrer, at påstanden gælder for n=1, 2) sikrer så, at påstanden gælder for n=2, en ny anvendelse af 2) sikrer for n=3 osv.


Konkret i dit tilfælde:

1) Vis (n=1), at 1/(1*(1+1))=1/(1+1) - det er hurtigt klaret :-)

2) Antag at sætningen gælder for n, dvs. du ved, at

1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1)) = n/(n+1)

Vis at den gælder for n+1, dvs

1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1))+1/((n+1)*(n+2)) = (n+1)/(n+2)

Du kan vise det sidste ved at udnytte induktionsantagelsen og sætte på fælles brøkstreg:


1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1))+1/((n+1)*(n+2))
= n/(n+1) + 1/((n+1)*(n+2))
= (n*(n+2))/((n+1)*(n+2)) + 1/((n+1)*(n+2))

Prøv selv at fortsætte herfra.

sfc83:

Matematisk induktion er en metode til at bevise en påstand P(n), hvori der indgår disse to skridt;

1) bevis P(1), dvs. påstanden for n=1
2) bevis, at for ethvert naturligt tal k vil hypotesen P(k) medføre P(k+1).

Når disse skridt er gennemført, kan man hævde gyldigheden af enhver påstand i følgen: P(1),P(2),P(3),...

Retfærdiggørelsen heraf ligger i det såkaldte induktionsaksiom. En uformel retfærdiggørelse er argumentet, at siden P(1) gælder, så må pga. 2) P(2) også gælde, og idet P(2) gælder, må P(3) gælde, og så fremdeles...


Som eksempel betragter vi påstanden

P(n): sum{i=1,n} 1/[i(i+1)] = n/(n+1) (*)

hvor

sum{i=1,n} 1/[i(i+1)]

betyder at vi summerer udtrykket 1/[i(i+1)] over alle naturlige tal i fra 1 til n. Det er blot en forkortet måde at skrive

1/[1*2] + 1/[2*3] + .... + 1/[n*(n+1)]

Vi skal nu bevise (*) ved induktion.


P(1): Her indeholder summen kun ét led, nemlig

1/[1(1+1)] = 1/2 = 1/(1+1)

så P(1) gælder.

2) Antag, at P(k) gælder for et eller andet k E N. Vi skal vise, at så gælder P(k+1).

P(k): Summen indeholder k led, og

sum{i=1,k} 1/[i(i+1)] = k/(k+1) (**)

P(k+1): Summen indeholder k+1 led, og fremkommer af summen (**) ved at tilføje det (k+1)'te led;

sum{i=1,k+1} 1/[i(i+1)] = sum{i=1,k} 1/[i(i+1)] + 1/[(k+1)((k+1)+1)]

Den k-ledede sum på højre side er k/(k+1) ifølge induktionsantagelsen (**), så

sum{i=1,k+1} 1/[i(i+1)] = k/(k+1) + 1/[(k+1)((k+1)+1)]

Af omskrivningen

k/(k+1) = k((k+1)+1)/[(k+1)((k+1)+1)]

følger nu, at

sum{i=1,k+1} 1/[i(i+1)] = [k((k+1)+1) +1]/[(k+1)((k+1)+1)] = [(k+1)^2]/[(k+1)((k+1)+1)] = (k+1)/[(k+1)+1]

Men det er jo netop påstanden P(k+1), jf. (*).

QED: Quod erat demonstrandum :-)

//Singularity

#1:

" Dvs at der er n led af denne type - altså

n*1/(n(n+1)) = n/(n+1) , qed. "

Duffy, det viser vel ikke rigtig noget, for der gælder, at

n*1/(n(n+1)) = 1/(n+1)

men vi ønskede derimod at vise, at summen blev n/(n+1).

//Singularity

GRRRRRRRRRRRRR ! ! ! !

I R R I T E R E N D E

AT MAN IKKE KAN REDIGERE ELLER SLETTE SINE EGNE INDLÆG. (SOM MAN FX KAN REDIGERE I SIN PROFIL).

DET KUNNE JO VÆRE AT MAN VAR KOMMET TIL AT RAMME EN "GAL" KNAP - ELLER HAR VÆRET LIDT FOR HURTIG PÅ AFTRÆKKEREN.


Duffy :(

jeg takker.. må nok sige forståelsen af induktion stadig ligger langt væk for mit vedkommende... men vil kigge nærme på de gode beskrivelse og se om det i sidste ende ikke kommer til at give mening... (-:

hmm måske skulle jeg også tage et kursus i dansk..