Differentialkvotient og optimering

Prøv at tegne grafen for funktionen i et egnet grafprogram som fx Geogebra (gratis på nettet og meget god).

Du har antal producerede enheder på x-aksen og omkostningerne herved på y-aksen (husk x ≥ 0 da man ikke kan producere minus et antal enheder)

Det ses af grafen (men også at forskriften) at omkostningerne ved produktion af 0 enheder er 10000, derefter falder omkostningerne indtil omkring 102 enheder, hvorefter omkostningerne stiger igen. Det er det punkt, hvor omkostningerne vender, du skal have fat i.

Det gøres ved at sætte den afledede funktion = 0, du skal med andre ord finde O'(x) og sætte den lig med nul.
Grafen for O(x) har et globalt minimum (når x ≥ 0) i x = 102,3998...hvilket betyder, at hvis der produceres 102 enheder, er omkostningerne herved mindst.

Løst på TI89'eren

Solve(d(1,4 * 10^-3 * x³ + 0,2x² - 85x + 10000,x)=0,x)|x≥0

hvilket "outputter" x = 102,39984... (hvis TI89'er er indstillet til "APPROXIMATE" under MODE

(Kommandoen er den samme, hvis man bruger TI Interactive)

         o'(x) = 0,0042·x² + 0,4·x - 85  x>0      hvis graf er del af en grenopadvendende parabel, hvis fortegn
                                                                                                                                 er minus mellem rødderne

ekstrema kræver
         o'(x_o) = 0 = 0,0042·x_o² + 0,4·x_o - 85  

hvoraf uden x-restriktion

          x_o1 = -197,6     x_o2 = 102,4

hvoraf med restriktionen x>0

          for 0<x<102,4 er o'(x)<0, hvorfor o(x) er monotont aftagende
          for x>102,4 er o'(x)>0, hvorfor o(x) er monotont voksende

hvoraf ses
at
         o(x) har minimum for x = 102 (0 dec.)

...................

i overensstemmelse med #1
og
med kontrolmuligheden
som vist i #2
          

 

Mange tak for hjælpen´:)