Differentialligninger

Hvis du vil vedhæfte opgaverne, så har vi en chance for at hjælpe dig.

Ej.. Det beklager jeg! Jeg troede, de var blevet vedhæftet. hehe.. Her kommer de!

Opg 3.
Væksthastigheden er dN/dt, så du kan beregne dN/dt til tiden t₀, hvor du kender N(t₀)
Populationen når den øvre grænse, hvor dN/dt = 0. Løs ligningen dN/dt = 0 og bestem den maksimale population N.
Løs differentialligningen ved at isolere de variable. Så får du et integral over N på den ene side, og et integral over t på den anden side, og benyt begyndelsesværdien N(0) = 1000 til at bestemme integrationskonstanten. Brug den fundne forskrift til at bestemme t, hvor N(t) = 40000.

Opg 4 er ganske svarende til Opg 3. Løs differentialligningen på samme måde og brug de givne oplysninger til at bestemme c og d. Der er jo yderligere den oplysning, at den øvre grænse for N er 1500, dvs N = 1500, hvor dN/dt = 0.

Mange tak! Jeg har fået væksthastigheden, i opg 3, til at være 960.. Men jeg kan ikke helt finde ud af at bestemme den øvre grænse.. Hvordan sætter jeg dN/dt =0?

Hov.. hehe. Jeg er med! Den nedre grænse er 0 og den øvre 5000. Yes. Jeg går videre. Tak!

Jeg er ikke helt med på det med at isolere de variable.. Er det dN/dt? Eller hvorledes?

Differentialligningen har formen

dN/dt = aN - bN² . Vi isolerer de variable

1/(aN - bN²) dN = dt      , og integrerer

∫1/(aN - bN²) dN = ∫dt + k   , og dermed

-1/a ln((a - bN)/N) = t + k , eller

(a - bN)/N = c e^-at , eller

N(t) = a/(b + c e^-at) . her er a = 0,5 og b = 0,5•0,00002 = 0,00001 , og vi fastlægger c ved N(0) = 1000:

N(0) = a/(b+c) , så b+c = a/N(0) og dermed c = a/N(0) -b = 0,5/1000 - 0,00001 = 0,00049